Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

38
это. Функция
()
1
M
Ay
y
d
=
−
по известной формуле суммы бесконечно
убывающей геометрической прогрессии может быть представлена в виде
ряда с положительными коэффициентами
2
2
1
1...
1
yy
y
dd
d
=
++ +
−
, следова-
тельно, функция
() ()
12
()
() 1 () 1 () ...
mA y Nn m Nn Nn
By Ay Ay Ay Ay
γγ γ γ γ
−
⎡
⎤
⎡⎤ ⎛⎞
=− = ++ +
⎢
⎥
⎜⎟
⎢⎥
⎣⎦ ⎝⎠
⎢
⎥
⎣
⎦
тоже имеет положительные коэффициенты разложения по степеням
y .
Этим же свойством обладает функция
() ()
0
y
N
yBd
m
ε
ξξ
=
∫
.
Так как
()
()
(
)
2
1...
2!
y
y
ey
ε
ε
ε
−= + + ,
то, очевидно, и функция ()
Uy тоже имеет положительные коэффициенты
при разложении по степеням
y . Поэтому и коэффициенты разложения
(
)
1
...
n
Ut x x
γ
+++ по степеням
1
,,...,
n
tx x также положительны, т.е.
(
)
0,Ux
действительно является мажорантой нуля. Следовательно,
(
)
1
...
in
UUUt x x
γ
== +++ действительно является решением нашей зада-
чи, т.е. мажорирует решение задачи (3.48), (3.49). Аналитичность решения
(
)
1
...
n
Ut x x
γ
+++ вытекает из того, что, как мы показали выше, оно разла-
гается в ряд по степеням
y , а следовательно, и по степеням
,tx
. Таким об-
разом, сходимость степенных рядов (3.51) доказана, т.е. доказана теорема
Ковалевской.
Некоторые замечания к теореме Ковалевской.
Об области существования аналитического решения
При мажорировании свободных членов постоянную
1
M
мы выбрали
не зависящей от
M
для того, чтобы область, где сходятся ряды, не зависе-
ла от начальных данных и свободных членов уравнений. Действительно,
область существования решения
(
)
,
i
Utx мажорирующей системы опреде-
                              M
это. Функция A ( y ) =                        по известной формуле суммы бесконечно
                            1− y
                       d
убывающей геометрической прогрессии может быть представлена в виде
                                       1                                        y y2
ряда с положительными коэффициентами                                       = 1 + + 2 + ... , следова-
                                     1− y                                       d d
                                                                       d
тельно, функция
             mA( y ) ⎡ Nn          ⎤
                                     −1
                                          m         ⎡ Nn             ⎛ Nn         ⎞
                                                                                    2
                                                                                           ⎤
    B( y ) =          1 −   A( y )      =   A ( y ) ⎢ 1 +   A( y ) + ⎜    A ( y ) ⎟   + ...⎥
              γ ⎢⎣        γ        ⎥
                                   ⎦      γ         ⎢⎣    γ          ⎝ γ          ⎠        ⎥⎦
тоже имеет положительные коэффициенты разложения по степеням y .
                                                                       y
                                            N
Этим же свойством обладает функция ε ( y ) = ∫ B (ξ ) dξ .
                                            m0
Так как
                                                            ε 2 ( y)
                                            −1 = ε ( y) +
                                   ε ( y)
                               e             + ... ,
                                         2!
то, очевидно, и функция U ( y ) тоже имеет положительные коэффициенты
при разложении по степеням y . Поэтому и коэффициенты разложения
U ( tγ + x1 + ... + xn ) по степеням t , x1 ,..., xn также положительны, т.е. U ( 0, x )
действительно           является                мажорантой                 нуля.    Следовательно,
U i = U = U ( tγ + x1 + ... + xn ) действительно является решением нашей зада-
чи, т.е. мажорирует решение задачи (3.48), (3.49). Аналитичность решения
U ( tγ + x1 + ... + xn ) вытекает из того, что, как мы показали выше, оно разла-
гается в ряд по степеням y , а следовательно, и по степеням t , x . Таким об-
разом, сходимость степенных рядов (3.51) доказана, т.е. доказана теорема
Ковалевской.
     Некоторые замечания к теореме Ковалевской.
     Об области существования аналитического решения
     При мажорировании свободных членов постоянную M 1 мы выбрали
не зависящей от M для того, чтобы область, где сходятся ряды, не зависе-
ла от начальных данных и свободных членов уравнений. Действительно,
область существования решения U i ( t , x ) мажорирующей системы опреде-

                                                     38

Страницы