ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
39
ляется областью аналитичности функции ()
A
y (т.е. коэффициентов
(
)
,
ij
atx и
()
,
i
btx). Таким образом, область существования решения
(
)
,
i
uxt
нашей задачи Коши (3.48), (*) определяется только числами
M
и d , т.е. не
зависит от значений
()
,
i
f
tx системы (3.48) и начальных данных (*).
Пример уравнения теплопроводности, для которого не существует
аналитического решения задачи Коши в окрестности точки
Для систем, не имеющих вида (3.46), теорема Ковалевской, вообще
говоря, неверна; об этом говорит следующий пример.
Пример Ковалевской
. Рассмотрим уравнение теплопроводности
2
2
uu
tx
∂
∂
=
∂
∂
с начальным условием
()
1
0, , 1
1
ux x
x
=
<
−
.
Аналитическое решение
()
,utx этой задачи, если оно существует в окрест-
ности начала координат, представляется рядом
()
(
)
()
21
0
2!
,
!
1
n
n
n
n
t
utx
n
x
∞
+
=
=⋅
−
∑
,
но этот ряд расходится в каждой точке при 0
t
≠
. Ниже в нашем курсе мы
покажем, что решение задачи Коши для уравнения теплопроводности в
классе неаналитических функций, например, в классе
(
]
()
2,1
,
0,
xt
CTΩ× су-
ществует и выражается явной формулой при 0
t > .
Примеры локально неразрешимых уравнений
Уже из теоремы Ковалевской следует, что вопрос о разрешимости
задачи Коши для уравнений в частных производных значительно сложнее,
чем для обыкновенных дифференциальных уравнений. Более того, для
уравнений в частных производных вообще нет столь общих теорем о раз-
решимости задачи Коши, как для обыкновенных дифференциальных урав-
нений. Решение задачи Коши для
уравнений в частных производных мо-
жет не существовать в классе
m
C (или в классе обобщенных решений), ес-
ли даже все коэффициенты уравнения, правые части и начальные данные
бесконечно дифференцируемы. Существуют примеры уравнений в част-
ляется областью аналитичности функции A( y) (т.е. коэффициентов
aij ( t , x ) и bi ( t , x ) ). Таким образом, область существования решения ui ( x, t )
нашей задачи Коши (3.48), (*) определяется только числами M и d , т.е. не
зависит от значений f i ( t , x ) системы (3.48) и начальных данных (*).
Пример уравнения теплопроводности, для которого не существует
аналитического решения задачи Коши в окрестности точки
Для систем, не имеющих вида (3.46), теорема Ковалевской, вообще
говоря, неверна; об этом говорит следующий пример.
Пример Ковалевской. Рассмотрим уравнение теплопроводности
∂u ∂ 2u
=
∂t ∂x 2
с начальным условием
1
u ( 0, x ) = , x <1 .
1− x
Аналитическое решение u ( t , x ) этой задачи, если оно существует в окрест-
ности начала координат, представляется рядом
∞
u (t, x ) = ∑
( 2 n )! ⋅ tn
,
(1 − x )
2 n +1
n =0 n!
но этот ряд расходится в каждой точке при t ≠ 0 . Ниже в нашем курсе мы
покажем, что решение задачи Коши для уравнения теплопроводности в
классе неаналитических функций, например, в классе C x2,1,t ( Ω × ( 0, T ]) су-
ществует и выражается явной формулой при t > 0 .
Примеры локально неразрешимых уравнений
Уже из теоремы Ковалевской следует, что вопрос о разрешимости
задачи Коши для уравнений в частных производных значительно сложнее,
чем для обыкновенных дифференциальных уравнений. Более того, для
уравнений в частных производных вообще нет столь общих теорем о раз-
решимости задачи Коши, как для обыкновенных дифференциальных урав-
нений. Решение задачи Коши для уравнений в частных производных мо-
жет не существовать в классе C m (или в классе обобщенных решений), ес-
ли даже все коэффициенты уравнения, правые части и начальные данные
бесконечно дифференцируемы. Существуют примеры уравнений в част-
39
