Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

37
Обыкновенное дифференциальное уравнение (3.65) с разделяющимися пе-
ременными можно переписать в виде:
()
()
()
1
NU
A
yNndU m Aydy
m
γ
⎛⎞
−=+
⎜⎟
⎝⎠
или
(
)
()
()
1
mA y dy
dU
B
ydy
NU
NnA y
m
γ
=≡
−
+
, (3.66)
где
()
(
)
()
.
mA y
By
NnA y
γ
=
−
Выберем теперь положительное число
γ
настолько большим, чтобы
в окрестности точки 0y = была справедлива оценка
(
)
0NnA y
γ
−
> . Тогда
()
B
y в этой окрестности будет аналитической функцией.
Интегрируя (3.66), мы найдем частное решение уравнения (3.65):
()
0
ln 1
y
NU N
d
mm
ξ
ξ
⎛⎞
+=
⎜⎟
⎝⎠
∫
,
откуда
()
0
exp
y
mN m
Bd U
Nm N
ξξ
⎧⎫
⎪⎪
=
+
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
∫
,
т.е.
()
0
() 1
y
N
Bd
m
m
Uy e
N
ξξ
⎛⎞
∫
⎜⎟
=
−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
. (3.67)
Докажем, что это частное решение дает нам искомую мажоранту для ре-
шения задачи (3.48), (3.49).
Так как функции
(
)
() ,
ii
Uy Utx
=
удовлетворяют системе (3.59), ма-
жорирующей исходную систему, и так как имеют место неравенства (3.62),
то для доказательства того, что функция (3.67) при
1
...
n
yt x x
γ
=
+++ ма-
жорирует решение задачи (3.48), (3.49), нам надо доказать, что
(
)
0t
Uy
=
мажорирует тождественный нуль, т.е. ( )
Uy при 0t
=
разлагается в ряд по
переменным
12
, , ...,
n
x
xx с положительными коэффициентами. Докажем 
Обыкновенное дифференциальное уравнение (3.65) с разделяющимися пе-
ременными можно переписать в виде:

                         (γ − A ( y ) Nn ) dU = m ⎛⎜ NU    ⎞
                                                        + 1⎟ A ( y ) dy
                                                      ⎝
                                                      m           ⎠
или
                                      dU       mA ( y ) dy
                                           =                  ≡ B ( y ) dy ,   (3.66)
                                     NU
                                        +1   γ − NnA    ( y )
                                      m
                  mA ( y )
где B ( y ) =                 .
                γ − NnA ( y )
       Выберем теперь положительное число γ настолько большим, чтобы
в окрестности точки y = 0 была справедлива оценка γ − NnA ( y ) > 0 . Тогда
B ( y ) в этой окрестности будет аналитической функцией.
       Интегрируя (3.66), мы найдем частное решение уравнения (3.65):
                                                          y
                                      ⎛ NU    ⎞ N
                                   ln ⎜    + 1⎟ = ∫ B (ξ )dξ ,
                                      ⎝ m     ⎠ m0
откуда
                                  m     ⎧⎪ N y        ⎫⎪     m
                                    exp ⎨ ∫ B (ξ ) dξ ⎬ = U + ,
                                  N      ⎪⎩ m 0        ⎪⎭    N
т.е.
                                        ⎛ N               ⎞
                                                              y

                                      m ⎜ m ∫0 B(ξ )dξ
                             U ( y) =      e           − 1⎟ . (3.67)
                                      N ⎜⎜                ⎟
                                                          ⎟
                                         ⎝                ⎠
Докажем, что это частное решение дает нам искомую мажоранту для ре-
шения задачи (3.48), (3.49).
       Так как функции U i ( y ) = U i ( t , x ) удовлетворяют системе (3.59), ма-
жорирующей исходную систему, и так как имеют место неравенства (3.62),
то для доказательства того, что функция (3.67) при y = tγ + x1 + ... + xn ма-
жорирует решение задачи (3.48), (3.49), нам надо доказать, что U ( y ) t =0
мажорирует тождественный нуль, т.е. U ( y ) при t = 0 разлагается в ряд по
переменным x1 , x2 , ..., xn с положительными коэффициентами. Докажем

                                                 37

Страницы