Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

40
ных производных, которые в любой окрестности точки
(
)
00
,tx не имеют
ни одного решения. Такие уравнения называются локально неразрешимы-
ми. Впервые пример такого уравнения второго порядка с комплекснознач-
ными коэффициентами был построен Г.Леви (США) в 1957 году. Он ука-
зал множество (второй категории) функций
(
)
(
)
2
,fxy C
∞
∈ , для которых
уравнение
()
,
uu
ix f x y
xy
∂∂
+=
∂∂
не имеет решений в любой окрестности точ-
ки
(
)
0, y .
Л. Хермандер доказал, что можно найти такую функцию
()
()
3
o
fx C
∞
∈ ,
для которой уравнение второго порядка с действительными коэффициен-
тами вида
()()
(
)
(
)
()
11 22 33 12 13
12
13
22 2
23 1 12 13 12 13
1()
xx xx xx xx xx
xx
xx
x
xu x u u xxu xxu xxu xxu fx−++ −−+− + =
не имеет ни одного решения для любой окрестности
3
0
∈
, т.е. начала ко-
ординат.
В настоящее время получены достаточные условия локальной нераз-
решимости уравнений с частными производными.
Как доказал Л. Хермандер, дифференциальное уравнений с постоян-
ными коэффициентами всегда разрешимо при произвольной правой части,
по крайней мере в любом компактном открытом подмножестве того от-
крытого множества, где задана правая часть
уравнения ()
f
x .
Отметим, что теорема Ковалевской утверждает, что всякое уравне-
ние типа Ковалевской, в котором коэффициенты и правая часть аналитич-
ны, имеет решение на некотором достаточно малом открытом множестве.
Однако для наперед заданного фиксированного множества решение, во-
обще говоря, может и не существовать. 
ных производных, которые в любой окрестности точки ( t 0 , x 0 ) не имеют
ни одного решения. Такие уравнения называются локально неразрешимы-
ми. Впервые пример такого уравнения второго порядка с комплекснознач-
ными коэффициентами был построен Г.Леви (США) в 1957 году. Он ука-
зал множество (второй категории) функций f ( x, y ) ∈ C ∞ (                            2
                                                                                           ) , для которых
                ∂u      ∂u
уравнение          + ix    = f ( x, y ) не имеет решений в любой окрестности точ-
                ∂x      ∂y
ки ( 0, y ) .
                                                                                                     o
        Л. Хермандер доказал, что можно найти такую функцию f ( x) ∈C                                 ∞
                                                                                                          ( ),
                                                                                                            3


для которой уравнение второго порядка с действительными коэффициен-
тами вида        ( x − x ) u +(1+ x ) (u
                   2
                   2
                       2
                       3   x1x1
                                   2
                                   1   x2x2         )
                                              −ux3x3 − x1x2ux1x2 + x1x3ux1x3 −( x1x2u) x x +( x1x3u) x x = f (x)
                                                                                       1 2           13


не имеет ни одного решения для любой окрестности 0 ∈ 3 , т.е. начала ко-
ординат.
     В настоящее время получены достаточные условия локальной нераз-
решимости уравнений с частными производными.
     Как доказал Л. Хермандер, дифференциальное уравнений с постоян-
ными коэффициентами всегда разрешимо при произвольной правой части,
по крайней мере в любом компактном открытом подмножестве того от-
крытого множества, где задана правая часть уравнения f ( x) .
     Отметим, что теорема Ковалевской утверждает, что всякое уравне-
ние типа Ковалевской, в котором коэффициенты и правая часть аналитич-
ны, имеет решение на некотором достаточно малом открытом множестве.
Однако для наперед заданного фиксированного множества решение, во-
обще говоря, может и не существовать.




                                                   40

Страницы