Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

34
()
1
2
1
0
...
,,
...
1
n
n
Mtxx
tx M
tx x
d
d
α
α
α
γ
ψ
∞
=
+++
⎛⎞
==
⎜⎟
+++
⎝⎠
−
∑
где d имеет прежнее значение, а число 1
γ
> , но такое, что
...
an
tx x d∂+ + + <
. Действительно, если теперь разложить
(
)
1
...
n
t
α
γα α
+++
в ряд по степеням
1
, , ...,
n
tx x, то получится ряд, отли-
чающийся от (3.58) только тем, что теперь коэффициенты будут больше,
так как умножаются на
0
,
α
γ
где
1
γ
>
.
в) Доказательство существования аналитического решения; неравен-
ства между коэффициентами данной и мажорирующей систем; построение
явного решения мажорирующей системы
После того как мы научились строить мажоранты, перейдем к дока-
зательству сходимости рядов для решения задачи (3.48), (3.49).
Промажорируем коэффициенты системы (3.48) с помощью постро-
енной нами функции
()
2
,tx
ψ
, подобрав при этом числа 0
M
> и 0d > так,
чтобы функция
()
2
1
,
...
1
n
M
tx
tx x
d
ψ
γ
=
++
−
при 1
γ
> была мажорантой
для всех коэффициентов системы, кроме свободных членов. Свободные же
члены
i
f
будем мажорировать функцией
()
1
3
1
,
...
1
n
M
tx
tx x
d
ψ
=
+
++
−
с дру-
гой постоянной
1
M
, не зависящей от
M
. Это можно сделать, так как ма-
жоранта такого вида существует у каждого коэффициента, и для построе-
ния общей мажоранты надо числам
M
и
1
M
придать наибольшее, а числу
d – наименьшее из всех значений, соответствующих различным коэффи-
циентам.
Выбрав таким образом числа
1
,,
M
Md
, мы получим мажорирую-
щую систему:
()
11 1
,,
Nn N
j
i
j
jk j
k
U
U
A
tx U m
tx
== =
∂
⎡
⎤
∂
=++
⎢
⎥
∂∂
⎣
⎦
∑∑ ∑
(3.59)
где
() ()
1
2
,,,
M
Atx tx m
M
ψ
≡=
. 
                                                                                      α
                                     M                 ∞
                                                           ⎛ tγ + x1 + ... + xn ⎞
               ψ 2 (t, x ) =                      = M ∑⎜                        ⎟ ,
                                t + x1 + ... + xn          ⎝        d α
                                                                                ⎠
                             1−                       α =0
                                       d
где     d     имеет прежнее значение, а число γ > 1 , но такое, что
 ∂t + xa + ... + xn < d .     Действительно,         если       теперь    разложить
                       α
( tγ + α1 + ... + α n ) в ряд по степеням t , x1 , ..., xn , то получится ряд, отли-
чающийся от (3.58) только тем, что теперь коэффициенты будут больше,
так как умножаются на γ α 0 , где γ > 1 .


      в) Доказательство существования аналитического решения; неравен-
ства между коэффициентами данной и мажорирующей систем; построение
явного решения мажорирующей системы
      После того как мы научились строить мажоранты, перейдем к дока-
зательству сходимости рядов для решения задачи (3.48), (3.49).
      Промажорируем коэффициенты системы (3.48) с помощью постро-
енной нами функции ψ 2 ( t , x ) , подобрав при этом числа M > 0 и d > 0 так,
                                        M
чтобы функция ψ 2 ( t , x ) =                         при γ > 1 была мажорантой
                                  γ t + x1 + ... + xn
                              1−
                                           d
для всех коэффициентов системы, кроме свободных членов. Свободные же
                                                                   M1
члены f i будем мажорировать функцией ψ 3 ( t , x ) =                           с дру-
                                                              t + x1 + ... + xn
                                                           1−
                                                                     d
гой постоянной M 1 , не зависящей от M . Это можно сделать, так как ма-
жоранта такого вида существует у каждого коэффициента, и для построе-
ния общей мажоранты надо числам M и M 1 придать наибольшее, а числу
d – наименьшее из всех значений, соответствующих различным коэффи-
циентам.
      Выбрав таким образом числа M , M 1 , d , мы получим мажорирую-
щую систему:
                                  ∂U i               ⎡ N n ∂U j N               ⎤
                                       = A ( t , x ) ⎢ ∑∑            + ∑U j + m ⎥ ,       (3.59)
                                   ∂t                ⎣ j =1 k =1 ∂xk   j =1     ⎦
                                        M1
где A ( t , x ) ≡ ψ 2 ( t , x ) , m =      .
                                        M

                                                   34

Страницы