Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 32 стр.

        Определение. Мажорантой (мажорантным рядом) для функции
ϕ ( t , x ) , аналитической в некоторой окрестности точки ( t 0 , x 0 ) , называется
всякая функция ψ ( t , x ) , аналитическая в этой окрестности, у которой все
коэффициенты разложения в степенной ряд Тейлора по степеням
t − t 0 , x1 − x10 ,..., xn − xn0 неотрицательны и не меньше абсолютных значений
соответствующих коэффициентов разложения функции ϕ ( t , x ) , т.е. если

ϕ ( t , x ) = ∑ cα ( t − t 0 )    (x − x )      , ψ ( t , x ) = ∑ Cα ( t − t 0 )                (x − x )
                                            /                                                               /
                             α0         0 α                                                α0           0 α
                                                                                                                , то Cα ≥ 0
и cα ≤ Cα .
        Перенесем начало координат в точку ( t 0 , x 0 ) и построим для функ-
ции ϕ ( t , x ) , аналитической в окрестности этой точки, мажоранту специ-
ального вида, которой мы будем пользоваться в дальнейшем.
        Пусть функция ϕ ( t , x ) разложена в ряд вида
                                         ϕ ( t , x ) = ∑ cα α ...α t α x1α ...xnα ,
                                                                    0 1    n
                                                                                   0   1        n
                                                                                                                      (3.53)
                                                         α

и пусть он сходится в точке                               ( t = b0 ,          x = b ) , b = ( b1 ,..., bn ) , где все
bk > 0, k = 0,1,..., n . Тогда существует такая постоянная M > 0 , что при
всех целых неотрицательных α i
                                                   cα 0α1 ...α n b0α 0 ...bnα n ≤ M ,                                 (3.54)
т.е.
                                                                              M
                                             cα 0α1 ...α n ≤        α0         α           αn   .                     (3.55)
                                                               b0         b1 1 ... bn
Неравенство (3.55) мы получили для заданной функции ϕ ( x ) , для которой
будем строить мажоранты.
     Рассмотрим функцию
                                                                          M
                                  ψ (t, x ) =                                                       ,                 (3.56)
                                                ⎛    t ⎞⎛     x1 ⎞ ⎛      xn ⎞
                                                ⎜1 −    ⎟ ⎜1 − ⎟ ...⎜ 1 −    ⎟
                                                ⎝    b0 ⎠⎝    b1 ⎠ ⎝      bn ⎠




                                                         32