Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

30
Перенесем точку
()
00
,Pt x , в окрестности которой мы будем решать
задачу, в начало координат; сначала докажем единственность решения в
классе аналитических функций в окрестности точки
(
)
0;0P , т.е. докажем,
что ни в какой окрестности этой точки не существует двух различных ана-
литических решений системы (3.48), удовлетворяющих при 0t
= одним и
тем же начальным условиям (3.49).
Итак, пусть в окрестности точки P существует аналитическое реше-
ние задачи Коши – вектор
(
)
1
,...,
N
uu u=
.
Аналитические в окрестности начала координат функции
(
)
,
i
utx раз-
лагаются в степенные ряды по
1
,,...,
n
tx x. Как известно, коэффициенты в
этих разложениях вычисляются через производные от разлагаемой функ-
ции, взятые в соответствующей точке (в нашем случае в начале координат).
Обозначим через
i
a
α
коэффициент при
0
1
1
...
n
n
tx x
α
α
α
в разложении
функции
(
)
,
i
utx в ряд окрестности начала координат:
01
01
0
1
...
...
0
0
01 1
0
0
11
!!...! ... !
n
n
n
ii
i
i
t
t
nn
x
x
u
aa Du
tx x
αα α
α
αααα
αα
α
αα α α
+++
=
=
=
=
⎛⎞
∂
≡= ≡
⎜⎟
∂∂ ∂
⎝⎠
. (3.50)
Тогда искомое решение задачи (3.48), (3.49), существование которого мы
предположили, запишется в виде ряда
(
)
0
1
01
... 1
,...
n
n
i
in
utx a tx x
α
α
α
αα α
α
=
∑
, (3.51)
где
01
...
n
i
a
α
αα
определяются формулами (3.50).
Единственность решения задачи Коши будет доказана, если мы до-
кажем, что система (3.48) и начальные условия (3.49) единственным обра-
зом определяют коэффициенты разложения функций
(
)
,
i
utx в степенные
ряды. Будем определять эти коэффициенты, т.е. производные от
(
)
,
i
utx в
точке
()
0;0P , последовательно.
Начальные условия определяют единственным образом все произ-
водные в точке
(
)
0;0P по
1
,...,
n
x :
()
/
1
1
0; 0
,
...
n
i
n
tx
utx
xx
α
α
α
=
=
∂
∂∂
, и все они равны нулю
в силу условия (3.49). Так как мы предположили, что решение задачи Ко-
      Перенесем точку P ( t 0 , x 0 ) , в окрестности которой мы будем решать
задачу, в начало координат; сначала докажем единственность решения в
классе аналитических функций в окрестности точки P ( 0;0 ) , т.е. докажем,
что ни в какой окрестности этой точки не существует двух различных ана-
литических решений системы (3.48), удовлетворяющих при t = 0 одним и
тем же начальным условиям (3.49).
      Итак, пусть в окрестности точки P существует аналитическое реше-
ние задачи Коши – вектор u = ( u1 ,..., u N ) .
      Аналитические в окрестности начала координат функции ui ( t , x ) раз-
лагаются в степенные ряды по t , x1 ,..., xn . Как известно, коэффициенты в
этих разложениях вычисляются через производные от разлагаемой функ-
ции, взятые в соответствующей точке (в нашем случае в начале координат).
      Обозначим через aαi коэффициент при t α 0 x1α1 ...xnα n в разложении
функции ui ( t , x ) в ряд окрестности начала координат:
                                       1           ⎛ ∂α0 +α1 +...+α n ui ⎞   1
          aα ≡ aα 0α1 ...α n
            i      i
                               =                   ⎜ α0 α1             αn ⎟
                                                                            ≡ Dα ui                     .   (3.50)
                                 α 0 !α1 !...α n ! ⎝ ∂t ∂x1 ...∂xn ⎠ t =0 α !                    t =0
                                                                               x =0              x =0

Тогда искомое решение задачи (3.48), (3.49), существование которого мы
предположили, запишется в виде ряда
                                         ui ( t , x ) = ∑ aαi 0α1 ...α n t α 0 x1α1 ...xnα n ,              (3.51)
                                                          α

где aαi 0α1 ...α n определяются формулами (3.50).
     Единственность решения задачи Коши будет доказана, если мы до-
кажем, что система (3.48) и начальные условия (3.49) единственным обра-
зом определяют коэффициенты разложения функций ui ( t , x ) в степенные
ряды. Будем определять эти коэффициенты, т.е. производные от ui ( t , x ) в
точке P ( 0;0 ) , последовательно.
      Начальные условия определяют единственным образом все произ-
                                                         ∂α ui ( t , x )
                                                              /


водные в точке P ( 0;0 ) по x1 ,..., xn :                                                , и все они равны нулю
                                                         ∂x1α1 ...∂xnα n
                                                                           t = 0; x =0

в силу условия (3.49). Так как мы предположили, что решение задачи Ко-

                                                         30

Страницы