Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

27
(
)
0
1
1
1
,
, , ,... , ,..., ...
...
i
i n
n
j
i
iN
n
n
u
uxt
Ftxu u
ttxx
α
αα
α
⎛⎞
∂
∂
=
⎜⎟
⎜⎟
∂∂∂∂
⎝⎠
, (3.46)
где
101 0
,..., , ... , , , , 1,...,
nnjj
x
xx n nij N
α
αα αα α
==+++≤<= (число
уравнений равно числу неизвестных). Из написанных уравнений видно, что в
них каждая из неизвестных функций
i
u
имеет свой наивысший порядок
i
n
производных по t , входящих в рассматриваемую систему. Независимая пере-
менная t играет особую роль среди прочих независимых переменных, так как:
а) среди производных наивысшего порядка
i
n
от каждой функции,
входящей в систему, должна содержаться производная
i
i
n
i
n
u
t
∂
∂
;
б) система разрешена относительно этих производных.
Обычно через t обозначают временную переменную, а через
1
,...,
n
x
x – пространственные переменные. Условиям а) и б) удовлетворяет,
например, уравнение
2
2
u
u
t
∂
=Δ
∂
, а уравнение
u
u
t
∂
=
Δ
∂
и система
v
0,
div 0
grad p
t
ν
⎧
∂
=
⎪
∂
⎨
⎪
=
⎩
не удовлетворяют им.
Систему (3.46), удовлетворяющую условиям а) и б), будем называть
системой Ковалевской.
При некотором
0
tt= зададим начальные значения неизвестных
функций
(
)
,
i
uxt и их производных по
t
до порядка
1
i
n
−
:
0
( ), 0,1,..., 1 .
k
k
i
ii
k
tt
u
xk n
t
ϕ
=
∂
=
=−
∂
(3.47)
Здесь ()
k
i
x
ϕ
заданы в области
0
n
G ⊂ , лежащей на гиперплоскости
0
tt= .
Задача (3.46), (3.47) называется задачей Коши. Нашей целью являет-
ся доказательство существования и единственности (в окрестности рас-
сматриваемой точки) решения задачи Коши в классе аналитических функ-
ций при условии аналитичности коэффициентов уравнения и начальных
данных. 
                 ∂ ni ui ( x, t )      ⎛                                 ∂α u j            ⎞
                                  = Fi ⎜ t , x , u1 ,... , u N ,..., α 0 α1            ... ⎟⎟ ,   (3.46)
                      ∂t  ni           ⎜                            ∂t  ∂x   ...∂x α n
                                       ⎝                                  1       n         ⎠
где   x = x1 ,..., xn , α = α 0 + α1 + ... + α n ,α ≤ n j , α 0 < n j , i, j = 1,..., N           (число
уравнений равно числу неизвестных). Из написанных уравнений видно, что в
них каждая из неизвестных функций ui имеет свой наивысший порядок ni
производных по t , входящих в рассматриваемую систему. Независимая пере-
менная t играет особую роль среди прочих независимых переменных, так как:
     а) среди производных наивысшего порядка ni от каждой функции,
                                                        ∂ ni ui
входящей в систему, должна содержаться производная              ;
                                                        ∂t ni
         б) система разрешена относительно этих производных.
         Обычно через t обозначают временную переменную, а через
x1 ,..., xn – пространственные переменные. Условиям а) и б) удовлетворяет,
                   ∂ 2u                  ∂u
например, уравнение 2 = Δu , а уравнение    = Δu и система
                   ∂t                    ∂t
                                         ⎧∂v
                                         ⎪ + grad p = 0 ,
                                         ⎨ ∂t
                                         ⎪    divν = 0
                                         ⎩
не удовлетворяют им.
      Систему (3.46), удовлетворяющую условиям а) и б), будем называть
системой Ковалевской.
      При некотором t = t 0 зададим начальные значения неизвестных
функций ui ( x, t ) и их производных по t до порядка ni − 1 :
                                     ∂ k ui
                                                         = ϕik ( x), k = 0,1,..., ni − 1 .        (3.47)
                                     ∂t k     t =t   0



Здесь ϕik ( x) заданы в области G0 ⊂                         n
                                                                 , лежащей на гиперплоскости t = t 0 .
     Задача (3.46), (3.47) называется задачей Коши. Нашей целью являет-
ся доказательство существования и единственности (в окрестности рас-
сматриваемой точки) решения задачи Коши в классе аналитических функ-
ций при условии аналитичности коэффициентов уравнения и начальных
данных.


                                                            27

Страницы