Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
(0; ) 0, 0
u
tt
x
∂
=
>
∂
. (3.23)
в) В более общем случае, когда на левом конце к струне прикреплен
груз массой m , выполняются краевые условия
2
2
(0, ) (0, ), 0
uu
mtTtt
tx
∂∂
⋅
=>
∂∂
. (3.24)
г) Если, кроме того, груз прикреплен к
пружине жесткости k , то в правой части (3.24)
нужно добавить силу упругости – (0; )ku t . Еще
может быть сила трения, пропорциональная
скорости –
(0, )
u
t
t
η
∂
∂
.
Таким образом, получается физически осмысленное условие
() ()
2
2
(0, )
0, (0, ) 0, ( )
ut u u
mTtkuttft
tx t
η
∂∂ ∂
=−−+
∂∂ ∂
. (3.25)
Здесь ()
f
t – некоторая внешняя сила, прилагаемая к левому концу.
Аналогичные условия могут быть заданы и в правом конце струны
x
l= .
Продольные колебания упругого стержня
Пусть имеется однородный ненапряженный стержень длиной l . На-
правляем Ox вдоль стержня, так, чтобы его левый конец находился в точке
0
x
= , тогда
x
l= – его правый конец.
Будем рассматривать лишь продольные колебания стержня. Через
(,)uxt будем обозначать смещение точки
x
в момент t вдоль оси .Ox
Докажем что (,)
uxt
удовлетворяет уравнению
(3.17). Для этого запишем
второй закон Ньютона в
проекции на
Ox для уча-
стка стержня от
x
до
x+Δ :
2
2
,(,),
xxx
u
am F a xt m x
t
μ
∂
=
≈=Δ
∂
. (3.26)
u
x
0
x
x
x
+
Δ
l
x
                                  ∂u
                                     (0; t ) = 0, t > 0 .         (3.23)
                                  ∂x
      в) В более общем случае, когда на левом конце к струне прикреплен
груз массой m , выполняются краевые условия
                             ∂ 2u          ∂u
                          m ⋅ 2 (0, t ) = T (0, t ), t > 0 .                     (3.24)
                             ∂t             ∂x
     г) Если, кроме того, груз прикреплен к            u

пружине жесткости k , то в правой части (3.24)
нужно добавить силу упругости – ku (0; t ) . Еще
может быть сила трения, пропорциональная                                             x
            ∂u
скорости – η (0, t ) .
            ∂t
     Таким образом, получается физически осмысленное условие
                   ∂ 2u (0, t )    ∂u                        ∂u
                m               = T ( 0, t ) − ku (0, t ) − η ( 0, t ) + f (t ) . (3.25)
                      ∂t 2
                                   ∂x                        ∂t
      Здесь f (t ) – некоторая внешняя сила, прилагаемая к левому концу.
Аналогичные условия могут быть заданы и в правом конце струны x = l .

      Продольные колебания упругого стержня

          Пусть имеется однородный ненапряженный стержень длиной l . На-
правляем Ox вдоль стержня, так, чтобы его левый конец находился в точке
x = 0 , тогда x = l – его правый конец.
          Будем рассматривать лишь продольные колебания стержня. Через
u ( x, t ) будем обозначать смещение точки x в момент t вдоль оси Ox.
      Докажем что u ( x, t )
удовлетворяет уравнению
(3.17). Для этого запишем
второй закон Ньютона в                 0          x          x + Δx         l        x

проекции на Ox для уча-
стка стержня от x до
 x + Δx :
                                             ∂ 2u
                             ax m = Fx , ax ≈ 2 ( x, t ), m = μΔx .              (3.26)
                                             ∂t

                                           18

Страницы