Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

16
1. Поперечные колебания струны
Пусть струна длиной
l натянута с силой .T Направим ось Ox вдоль
струны, находящейся в положении равновесия и пусть 0
x
=
– левый конец
струны. Тогда
x
l
=
– правый конец
струны. Возьмем ось
Ou Ox⊥ и бу-
дем рассматривать лишь поперечные
колебания струны, когда каждая точ-
ка
x
смещается только перпендику-
лярно
Ox . Обозначим (,)uxt смеще-
ние точки
x
струны в момент
t
.
Предположим, что углы, образуемые
струной с
Ox малы: ,1
α
β
. Докажем, что (,)uxt удовлетворяет уравне-
нию (3.17).
Для этого запишем второй закон Ньютона в проекции на
Ou для
участка струны от
x
до
x
x+Δ
(
)
(
)
nn
amF⋅= . (3.18)
Здесь
2
2
(,)
n
uxt
a
t
∂
≈
∂
(ускорение),
mx
μ
=Δ− – плотность (линейная)
струны,
()
()()
(,)
лп
n
uu
FF F fxtx=++⋅Δ.
Через
(
)
лп
FF обозначена сила,
действующая на участок
[]
;
x
xx
+
Δ со
стороны левого (правого) куска стру-
ны,
n
a проекция ускорения на Ou ,
(
)
(
)
,
лп
uu
FF – проекции сил на Ou ;
(,)
f
xt – плотность поперечных внеш-
них сил. Например, в поле тяжести Земли
(,)
f
xt g
μ
=
−
, где
2
9,8
м
g
с
= .
Подставляя ,
u
am и
u
F в (3.18), получаем
()()
2
2
(,)
лп
uu
u
x
FFfxtx
t
μ
∂
Δ
≈++Δ
∂
. (3.19)
u
0
x
l
x
u
n
F
α
β
л
F
0
x
x
x+Δ
x
     1. Поперечные колебания струны
     Пусть струна длиной l натянута с силой T . Направим ось Ox вдоль
струны, находящейся в положении равновесия и пусть x = 0 – левый конец
струны. Тогда x = l – правый конец
струны. Возьмем ось Ou ⊥ Ox и бу-       u
дем рассматривать лишь поперечные
колебания струны, когда каждая точ-
ка x смещается только перпендику-
лярно Ox . Обозначим u ( x, t ) смеще-
ние точки x струны в момент t .
                                                          0                    x               l             x
Предположим, что углы, образуемые
струной с Ox малы: α , β                 1 . Докажем, что u ( x, t ) удовлетворяет уравне-
нию (3.17).
     Для этого запишем второй закон Ньютона в проекции на Ou для
участка струны от x до x + Δx
   (a)     n
                    ( )
               ⋅m = F .
                             n
                                             (3.18)

                 ∂ 2u ( x, t )                                u                                         Fn
     Здесь a n ≈               (ускорение),
                    ∂t 2
m = μΔx − μ – плотность (линейная)                                                                  α
                         ( ) ( )
струны, ( F )n = F л + F п + f (x,t) ⋅ Δx .
                                 u   u
                                                                       β
           Через        F ( F ) обозначена сила,
                         л       п
                                                                               Fл
действующая на участок [ x; x + Δx ] со
стороны левого (правого) куска стру-                          0                    x       x + Δx                x

ны, an проекция ускорения на Ou ,

(F ) , (F )
   л
       u
                п
                    u
                        – проекции сил на Ou ; f ( x, t ) – плотность поперечных внеш-

                                                                                                    м
них сил. Например, в поле тяжести Земли f ( x, t ) = − g μ , где g = 9,8                               .
                                                                                                    с2
           Подставляя au , m и Fu в (3.18), получаем
                                     ∂ 2u
                                     ∂t 2
                                               ( ) + (F )
                                          μΔx ≈ F л
                                                      u
                                                              п
                                                                  u
                                                                      + f ( x , t ) Δx .                (3.19)



                                                 16

Страницы