Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 12 стр.

                                ξ = ϕ1 ( x, y ), η = ϕ2 ( x, y ) .          (2.22)
Как и в гиперболическом случае, можно показать, что якобиан преобразо-
вания (2.22) отличен от нуля. Учитывая, что функция (2.20) по построению
является решением уравнения (2.13):
                   2                                                    2
     ⎛ ∂ϕ   ∂ϕ ⎞      ⎛ ∂ϕ   ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ     ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ       ∂ϕ ⎞
   a ⎜ 1 + i 2 ⎟ + 2b ⎜ 1 + i 2 ⎟ ⋅ ⎜ 1 + i 2 ⎟ + c ⎜ 1 + i 2 ⎟ = 0 ,
     ⎝ ∂x    ∂x ⎠     ⎝ ∂x    ∂x ⎠ ⎝ ∂y     ∂y ⎠ ⎝ ∂y       ∂y ⎠
и разделяя вещественную и мнимую части в (2.13), находим
⎧ ⎛ ∂ϕ ⎞2      ∂ ϕ  ∂ ϕ    ⎛ ∂ϕ ⎞
                                  2
                                     ⎛ ∂ϕ  ⎞
                                             2
                                                 ∂ϕ    ∂ϕ ⎛ ∂ϕ ⎞
                                                                 2

⎪a ⎜ 1 ⎟ + 2b 1 ⋅ 1 + c ⎜ 1 ⎟ = a ⎜ 2 ⎟ + 2b 2 ⋅ 2 + c ⎜ 2 ⎟ ;               (2.23)
⎪ ⎝ ∂x ⎠        ∂x ∂y      ⎝ ∂y ⎠    ⎝ ∂x ⎠       ∂x ∂y   ⎝ ∂y ⎠
⎨
⎪ ∂ϕ1 ∂ϕ2 ⎛ ∂ϕ1 ∂ϕ2 ∂ϕ1 ∂ϕ2 ⎞ ∂ϕ1 ∂ϕ2
⎪ a ∂x ⋅ ∂x + b ⎜ ∂y ⋅ ∂x + ∂x ⋅ ∂y ⎟ + c ∂y ⋅ ∂y = 0.                       (2.24)
⎩               ⎝                   ⎠

Из (2.23) и (2.12) следует A = C , а из (2.24) и (2.12), что B = 0 . Из замеча-
ния 1 вытекает, что B 2 − AC = (b 2 − ac)δ 2 < 0 при δ ≠ 0 . Так как по по-
строению преобразования (2.22) величина δ ≠ 0 , то A = C ≠ 0 . Следова-
тельно, после преобразования (2.22) и деления на A уравнение (2.5) пере-
ходит в уравнение (2.9) канонического вида.
      3. Параболический тип уравнения: b 2 − ac = 0 .
      Заметим, что в этом случае хотя бы один из коэффициентов a ( x, y )
или c( x, y ) отличен от нуля (в противном случае и b = 0 и уравнение (2.5)
вырождается в уравнение первого порядка). Предположим, что a ( x, y ) ≠ 0 ,
и рассмотрим уравнения (2.18), (2.19) при Δ( x, y ) = b 2 − ac = 0 . Так как в
этом случае оба уравнения совпадают, то мы приходим к уравнению
                                   ∂ϕ ( x, y )              ∂ϕ ( x, y )
                        a ( x, y )             + b ( x, y )             = 0. (2.25)
                                      ∂x                       ∂y
Заметим также, что всякое решение уравнения (2.25) является также реше-
нием уравнения
                                  ∂ϕ ( x, y )              ∂ϕ ( x, y )
                       b ( x, y )             + c ( x, y )             =0 (2.26)
                                     ∂x                       ∂y
и наоборот.



                                         12