Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 6 стр.

       Приведение уравнения (1.1) к каноническому виду.
       Из вышеизложенного очевидно, что на тип уравнения, и, следова-
тельно, на его канонический вид влияют лишь коэффициенты при старших
(вторых) производных. Поэтому рассмотрим более общее, чем уравнение
(1.1) уравнение
          n
                           ∂ 2u                 ∂u        ∂u
        ∑
        i , j =1
                 aij ( x)
                          ∂xi ∂x j
                                   + Φ ( x, u ,
                                                ∂x1
                                                    ,...,
                                                          ∂xn
                                                              ) = 0, x = ( x1 ,..., xn ) ∈ Q ⊂      n
                                                                                                           (2.1)

с непрерывными коэффициентами aij ( x) . Это уравнение называется квази-
линейным (линейным относительно всех старших производных) диффе-
ренциальным уравнением второго порядка. Выясним прежде всего, по ка-
кому закону преобразуются коэффициенты aij при произвольной неосо-
бенной          замене           независимых                переменных                y = y ( x) ,           т.е.
                                                                           ⎛ ∂y                  ⎞ n
yl = yl ( x1 , x2 ,...xn ), l = 1, 2, ..., n; y ∈ C 2 (Q ) с якобианом T = ⎜ l                   ⎟           , от-
                                                                           ⎝ ∂xi                 ⎠ l , i = 1
личным от нуля: det [T ] ≠ 0, x ∈ Q . Так как det T ≠ 0 , то переменные x
можно выразить через переменные y, x = x( y ) . Обозначим u ( x( y )) = u ( y ),
тогда u ( y ( x)) = u ( x) . Имеем
∂u    n
         ∂u ∂yl   ∂ 2u     ∂ ⎛ ∂u ⎞ n ∂ 2u ∂yl ∂yk                n
                                                                     ∂u ∂ 2 yl
   =∑       ⋅   ,        =     ⎜     ⎟= ∑             ⋅   ⋅    +∑       ⋅         . (2.2)
∂xi l =1 ∂yl ∂xi ∂xi ∂x j ∂x j ⎝ ∂xi ⎠ k ,l =1 ∂yl ∂yk ∂xi ∂x j l =1 ∂yl ∂xi ∂x j
Подставляя выражения (2.2) в уравнение (2.1), получим
 n      ⎛ n        ∂yl ∂yk ⎞ ∂ 2 u      n
                                           ∂u n            ∂ 2 yl             ∂u     ∂u
∑       ⎜⎜ ∑ aij
k ,l =1 ⎝ i , j =1
                            ⎟⎟       +∑         ∑      aij
                   ∂xi ∂x j ⎠ ∂yl ∂yk l =1 ∂yl i , j =1 ∂xi ∂x j
                                                                  + Φ∗ ( y, u, ,...,
                                                                              ∂y1    ∂yn
                                                                                         ) = 0.           (2.3)

                                                     ⎛ n        ∂y ∂y ⎞
Обозначая теперь через alk новые коэффициенты alk = ⎜ ∑ aij l k ⎟ при
                                                     ⎜ i , j =1 ∂x ∂x ⎟
                                                     ⎝            i  j ⎠

вторых производных, перепишем уравнение (2.1) в виде
                                 n
                                                  ∂ 2u                ∂u        ∂u
                               ∑
                               k ,l =1
                                       akl ( y )
                                                 ∂yl ∂yk
                                                         + Φ ( y, u ,
                                                                      ∂y1
                                                                          ,...,
                                                                                ∂yn
                                                                                    ) = 0.                 (2.4)

Итак, матрица A = ( akl ) получена по правилу A = TAT ′ , где T ′ − транспо-
нированная матрица T .



                                                     6