Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4
Через Q
∂
или Γ будем обозначать границу области. Шар радиуса r с цен-
тром в точке
0
x
будем обозначать
0
()
r
B
x , а его границу, сферу, как
0
()
r
Sx.
Определение
. Функция называется кусочно-непрерывной в
n
, если
существует конечное или счетное число таких областей
,1,2,...
k
Gk= , без
общих точек с кусочно-гладкими границами, что каждый шар покрывается
конечным числом замкнутых областей
{
}
k
G
и ()
k
f
CG∈ , 1, 2, ...k =
Определение
. Кусочно-непрерывная функция называется финитной,
если она обращается в нуль вне некоторого шара.
Определение
. Пусть ()
n
C
ϕ
∈ . Носителем непрерывной функции
ϕ
называется замыкание множества тех точек, где () 0
x
≠
; носитель
ϕ
обо-
значается supp
ϕ
.
Ниже будем обозначать
()
k
CQ – множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в Q.
()
k
CQ – множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в Q.
0
() ()
i
i
CQ CQ
∞
∞
=
=
∩
, аналогично ()CQ
∞
.
()
kn
C
– множество финитных k раз непрерывно дифференцируемых
функций.
Аналогично вводится: ( )
n
C
∞
.
§ 2. Классификация линейных уравнений в частных
производных второго порядка
Типы уравнений.
Рассмотрим уравнение (1.1). Введем в рассмотрение симметричную
матрицу (
ij ji
aa= ):
(
)
,1
()
n
ij
ij
Aax
=
= . Известно, что у такой матрицы сущест-
вуют
1
,...,
n
λ
λ
– n вещественных собственных значений. Обозначим n
+
–
количество положительных собственных значений,
n
−
- количество отри-
цательных собственных значений,
0
n – количество нулевых собственных
значений (все – с учетом кратности). 
Через ∂ Q или Γ будем обозначать границу области. Шар радиуса r с цен-
тром в точке x0 будем обозначать Br ( x0 ) , а его границу, сферу, как Sr ( x0 ) .
     Определение. Функция называется кусочно-непрерывной в n , если
существует конечное или счетное число таких областей Gk , k = 1,2,... , без
общих точек с кусочно-гладкими границами, что каждый шар покрывается
конечным числом замкнутых областей {Gk } и f ∈ C (Gk ) , k = 1,2,...
      Определение. Кусочно-непрерывная функция называется финитной,
если она обращается в нуль вне некоторого шара.
       Определение. Пусть ϕ ∈ C (                      n
                                                           ) . Носителем непрерывной функции ϕ
называется замыкание множества тех точек, где ϕ ( x) ≠ 0 ; носитель ϕ обо-
значается supp ϕ .
       Ниже будем обозначать
C k (Q) – множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в Q.
C k (Q ) – множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в Q .
             ∞
C (Q ) = ∩ C i (Q ) , аналогично C ∞ (Q ) .
  ∞

            i =0


C k(   n
           ) – множество финитных k раз непрерывно дифференцируемых
функций.

Аналогично вводится: C ∞ (            n
                                           ).


            § 2. Классификация линейных уравнений в частных
                       производных второго порядка
       Типы уравнений.
       Рассмотрим уравнение (1.1). Введем в рассмотрение симметричную
матрицу ( aij = a ji ): A = ( aij ( x) )
                                           n
                                                      . Известно, что у такой матрицы сущест-
                                           i , j =1

вуют λ1 ,..., λn – n вещественных собственных значений. Обозначим n + –
количество положительных собственных значений, n − - количество отри-
цательных собственных значений, n0 – количество нулевых собственных
значений (все – с учетом кратности).


                                                            4

Страницы