Изучай сопротивление материалов самостоятельно. Горбунов В.Ф. - 123 стр.

                    Схема 76. Формула Эйлера для определения критической силы


                                               Исходные предпосылки


Стержень находится в упругой стадии нагружения σ ≤ σ pr                              Деформации малы

            z
                R       Рассматриваем изогнутое состояние прямолинейного упругого стерж-
                        ня, нагруженного центрально приложенной сжимающей силой F



                            Кривизна упругой линии стержня                          Момент внутренних
                                       1 Мх                                         сил в сечении В
                                        =      ≈ у ′′                                       EJ
                у=f(z                  ρ EJ x                                         Мx= x = EJ x у′′
    l                                                                                        ρ
        В       )
                           Момент внешних сил от-                    Упругое равновесие Мх=Ме
                           носительно сечения В                                 EJ x у ′′ = − Fу
                    z               Me=-Fу                                                 F
                                                                                у ′′ = −       у
                                                                                          EJ x
                                   F
у                          к2 =
                                  EJ x         Однородное дифференциальное уравнение второго
                F                             порядка с постоянными коэффициентами
                                                                          у′′ + к 2 у = 0
                Решаем диффе-
                ренциальное
                уравнение
                                               Составляем характеристическое уравнение
                                                                              r2 + к2 = 0

        При Z=0,                  Решение дифференци-                    Находим корни характеристиче-
        У=0;                      ального уравнения                      ского уравнения
                                  ищем в виде                            r1 = кi, r2 = −кi
                                  у = с1 sin кz + c 2 cos кz

            0 = с1 sin 0 + c 2 cos 0;       с2 = 0          у = с1 sin кz              с1 ≠ 0;        sinкi = 0,
                                                                                        кl = nπ
При Z=l, У=0                                            с1 sin кl = 0


                                                               n 2 π 2 EJ x                   n 2π2
                                Формула Эйлера Fcr =                                   к2 =
                                                                   l2                            l2




                                                      123