ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
10
5. Если f(x) — строго выпуклая функция, определенная на выпуклом множестве M , то множе-
ство точек, на котором f(x) достигает минимума, состоит из единственной точки.
Это свойство делает понятным, почему необходим анализ функции на строгую выпуклость.
6. Выпуклая функция f (x), определенная на R
n
, либо является константой, либо неограничена
сверху.
Это свойство констатирует очевидный факт, что выпуклая функция не ограничена сверху.
7. Выпуклая функция f(x) непрерывная и ограниченная сверху на многограннике, достигает
своего глобального максимума в одной из крайних точек.
Известно, что задача максимилизации выпуклой функции на ограниченном множестве в об-
щем случае многоэкстремальна, для отыскания ее глобального максимума достаточно срав-
нить значения функции в крайних точках. Обобщение этого свойства на случай произвольного
ограниченного множества дается в следующем утверждении.
8. Если f(x) — непрерывная функция на ограниченном выпуклом множестве M , то она достигает
своего глобального максимума в крайней точке.
Это утверждение опирается в свою очередь на свойство выпуклого компакта иметь, по крайней
мере, одну крайнюю точку. Эту теорему можно распространить и на неограниченное выпуклое
множество, не имеющее внутреннего подпространства.
9. Выпуклая функция f(x), определенная на выпуклом множестве G, достигает минимума в
точке x
∗
∈ G тогда и только тогда, когда
(∇f(x
∗
),x− x
∗
) ≥ 0, ∀x ∈ G
Это свойство дает критерии оптимальности функции в точке x
∗
.Еслиf(x) — произвольная
функция, то x
∗
— точка лишь локального минимума. Если f(x) — вогнутая функция, то имеем
противоположное неравенство.
Упражнение 1. Найти максимумы и минимумы функций.
1. f(x)=
2x
3
− 5x
2
+14x +6
2x
2
2. f(x, y)=x
4
+ y
4
− 2x
2
+4xy − 2y
2
3. f(x, y, z)=x
2
+ y
2
+ z
2
− xy + x − 2z
4. f(x, y)=(1+l
y
)cosx + l
y
10
5. Если f (x) — строго выпуклая функция, определенная на выпуклом множестве M , то множе-
ство точек, на котором f (x) достигает минимума, состоит из единственной точки.
Это свойство делает понятным, почему необходим анализ функции на строгую выпуклость.
6. Выпуклая функция f (x), определенная на Rn , либо является константой, либо неограничена
сверху.
Это свойство констатирует очевидный факт, что выпуклая функция не ограничена сверху.
7. Выпуклая функция f (x) непрерывная и ограниченная сверху на многограннике, достигает
своего глобального максимума в одной из крайних точек.
Известно, что задача максимилизации выпуклой функции на ограниченном множестве в об-
щем случае многоэкстремальна, для отыскания ее глобального максимума достаточно срав-
нить значения функции в крайних точках. Обобщение этого свойства на случай произвольного
ограниченного множества дается в следующем утверждении.
8. Если f (x) — непрерывная функция на ограниченном выпуклом множестве M , то она достигает
своего глобального максимума в крайней точке.
Это утверждение опирается в свою очередь на свойство выпуклого компакта иметь, по крайней
мере, одну крайнюю точку. Эту теорему можно распространить и на неограниченное выпуклое
множество, не имеющее внутреннего подпространства.
9. Выпуклая функция f (x), определенная на выпуклом множестве G, достигает минимума в
точке x∗ ∈ G тогда и только тогда, когда
(∇f (x∗ ), x − x∗ ) ≥ 0, ∀x ∈ G
Это свойство дает критерии оптимальности функции в точке x∗ . Если f (x) — произвольная
функция, то x∗ — точка лишь локального минимума. Если f (x) — вогнутая функция, то имеем
противоположное неравенство.
Упражнение 1. Найти максимумы и минимумы функций.
2x3 − 5x2 + 14x + 6
1. f (x) =
2x2
2. f (x, y) = x4 + y 4 − 2x2 + 4xy − 2y 2
3. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − xy + x − 2z
4. f (x, y) = (1 + ly ) cos x + ly
