ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
9
Замечание. Неотрицательность одних угловых миноров недостаточна для неотрицательности
определенности матрицы. Так, например, знакомеременная форма f = −x
2
2
+2x
1
x
3
имеет матрицу
вторых производных
A =
002
0 −20
200
у которой все угловые миноры неотрицательны.
Критерий отрицательной определенности матрицы. Для того, чтобы матрица была
отрицательно-определенной, необходимо и достаточно, чтобы угловые миноры матрицы чередо-
вались по знаку, причем ∆
1
< 0.
Пример. Выясним, при каких значениях параметра функция является выпуклой f(x)=α
1
x
2
1
x
2
2
+
(x
2
1
+x
2
2
)
2
. Очевидно, что для этого надо составить матрицу вторых производных этой функции и из
условий ее неотрицательной определенности получить ограничения на параметр. Действительно,
f
x
1
x
1
=6x
2
1
+(2+α)x
2
2
,f
x
2
x
2
=6x
2
2
+(2+α)x
2
1
,f
x
1
x
2
= f
x
2
x
1
= 2(2 + α)x
1
x
2
Наша функция будет выпуклой, если
6x
2
1
+(2+α)x
2
2
≥ 0
6x
2
2
+(2+α)x
2
1
≥ 0
[6x
2
1
+(2+α)x
2
2
][6x
2
2
+(2+α)x
2
1
] ≥ 0
Очевидно из первых двух неравенств, что α ≥−2
Следующее неравенство дает, положив 2+α = t
6tx
4
1
+6tx
2
2
− 3t
2
x
2
1
x
2
2
+36x
2
1
x
2
2
≥ 0, ∀x
1
,x
2
Это неравенство выполнимо для любых x
1
,x
2
при (t
2
− 12)/2t ≤ 2. Отсюда сразу получаем, что
0 <t≤ 6. Но случай t =0, как это легко увидеть, удовлетворяет нас. Следовательно, −2 ≤ α ≤ 4.
Упражнение 1. Найти плоскость параметров (α, β) области, где функция f(x
1
,x
2
)=x
α
1
x
β
2
,
(x
1
≥ 0,x
2
≥ 0) является выпуклой (строго выпуклой) и вогнутой (строго вогнутой).
Упражнение 2. Найти на плоскости (x
1
,x
2
) области, в которых является выпуклой и область,
в которой является вогнутой функция.
Максимумы и минимумы выпуклых функций
В этом разделе приводятся свойства выпуклых (вогнутых) функций, имеющих фундаментальное
значение для практической оптимизации.
1. Для того, чтобы выпуклая функция f(x) имела в точке x
∗
безусловный минимум, необходимо
и достаточно, чтобы ∇f (x
∗
)=0. Это свойство говорит о том, что для выпуклой функции нет
необходимости исследовать точку, как это делается в случае произвольной дифференцируемой
функции.
2. Для того, чтобы выпуклая функция f(x) имела в точке x
∗
безусловный минимум, необходимо
и достаточно, чтобы производные по любому направлению были неотрицательными, то есть
∂f
∂S
(x
∗
i
) ≥ 0, ∀S. Этот признак оптимальности может быть сформулирован в более конструк-
тивной форме.
3. Для того, чтобы выпуклая функция f(x) имела в точке x
∗
безусловный минимум, необходимо
и достаточно, чтобы 0 ∈ ∂f(x
∗
),где∂f(x
∗
) — субдифференциал f(x) в точке x
∗
4. Если функция f(x) выпукла на выпуклом множестве, то она не имеет локальных минимумов, а
каждый ее минимум является глобальным. Причем множество экстремальных точек выпукло.
Это свойство особо следует иметь в виду при решении практических задач, так как это поз-
воляет нам определить одноэкстремальная или многоэкстремальная задача. Последнее имеет
место в случае произвольной функции. Однако, экстремальных и в случае выпуклой функции
может быть множество.
9
Замечание. Неотрицательность одних угловых миноров недостаточна для неотрицательности
определенности матрицы. Так, например, знакомеременная форма f = −x22 + 2x1 x3 имеет матрицу
вторых производных
0 0 2
A = 0 −2 0
2 0 0
у которой все угловые миноры неотрицательны.
Критерий отрицательной определенности матрицы. Для того, чтобы матрица была
отрицательно-определенной, необходимо и достаточно, чтобы угловые миноры матрицы чередо-
вались по знаку, причем ∆1 < 0.
Пример. Выясним, при каких значениях параметра функция является выпуклой f (x) = α1 x21 x22 +
(x1 +x22 )2 . Очевидно, что для этого надо составить матрицу вторых производных этой функции и из
2
условий ее неотрицательной определенности получить ограничения на параметр. Действительно,
fx1 x1 = 6x21 + (2 + α)x22 , fx2 x2 = 6x22 + (2 + α)x21 , fx1 x2 = fx2 x1 = 2(2 + α)x1 x2
Наша функция будет выпуклой, если
6x21 + (2 + α)x22 ≥ 0
6x22 + (2 + α)x21 ≥ 0
[6x21 + (2 + α)x22 ][6x22 + (2 + α)x21 ] ≥ 0
Очевидно из первых двух неравенств, что α ≥ −2
Следующее неравенство дает, положив 2 + α = t
6tx41 + 6tx22 − 3t2 x21 x22 + 36x21 x22 ≥ 0, ∀x1 , x2
Это неравенство выполнимо для любых x1 , x2 при (t2 − 12)/2t ≤ 2. Отсюда сразу получаем, что
0 < t ≤ 6. Но случай t = 0, как это легко увидеть, удовлетворяет нас. Следовательно, −2 ≤ α ≤ 4.
β
Упражнение 1. Найти плоскость параметров (α, β) области, где функция f (x1 , x2 ) = xα 1 x2 ,
(x1 ≥ 0, x2 ≥ 0) является выпуклой (строго выпуклой) и вогнутой (строго вогнутой).
Упражнение 2. Найти на плоскости (x1 , x2 ) области, в которых является выпуклой и область,
в которой является вогнутой функция.
Максимумы и минимумы выпуклых функций
В этом разделе приводятся свойства выпуклых (вогнутых) функций, имеющих фундаментальное
значение для практической оптимизации.
1. Для того, чтобы выпуклая функция f (x) имела в точке x∗ безусловный минимум, необходимо
и достаточно, чтобы ∇f (x∗ ) = 0. Это свойство говорит о том, что для выпуклой функции нет
необходимости исследовать точку, как это делается в случае произвольной дифференцируемой
функции.
2. Для того, чтобы выпуклая функция f (x) имела в точке x∗ безусловный минимум, необходимо
и достаточно, чтобы производные по любому направлению были неотрицательными, то есть
∂f ∗
∂S (xi ) ≥ 0, ∀S. Этот признак оптимальности может быть сформулирован в более конструк-
тивной форме.
3. Для того, чтобы выпуклая функция f (x) имела в точке x∗ безусловный минимум, необходимо
и достаточно, чтобы 0 ∈ ∂f (x∗ ), где ∂f (x∗ ) — субдифференциал f (x) в точке x∗
4. Если функция f (x) выпукла на выпуклом множестве, то она не имеет локальных минимумов, а
каждый ее минимум является глобальным. Причем множество экстремальных точек выпукло.
Это свойство особо следует иметь в виду при решении практических задач, так как это поз-
воляет нам определить одноэкстремальная или многоэкстремальная задача. Последнее имеет
место в случае произвольной функции. Однако, экстремальных и в случае выпуклой функции
может быть множество.
