Выпуклые функции и их свойства. Горячев Л.В. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

6
Большой интерес для теоретических и практических исследований имеет вопрос о математиче-
ских операциях над выпуклыми функциями, которые не нарушают ее выпуклости.
Легко видеть, что операция взятия абсолютной величины выпуклой функции в общем случае
нарушает условие выпуклости. Рис 2 а, б.
f(x)
||f(x)
Рис 2а Рис 2б
Очевидно, что выпуклость f(x) не нарушается, если f(x) ≥ 0.
Аналогично операция возведения в квадрат может нарушить свойство выпуклости функции.
Функция f
2
(x) остается выпуклой функцией, если f(x) — выпуклая неотрицательная функция.
Возведение в куб также может привести к нарушению выпуклости функции. Например, y = x
— выпуклая функция, а y = x
3
не является выпуклой, однако будет квазивыпуклой.
6. Выпуклые функции можно складывать с неотрицательными коэффициентами. Это свойство
означает, что подмножество выпуклых функций в пространстве непрерывных на множестве M
функций есть выпуклый конус, то есть множество замкнутое относительно операции сложе-
ния и умножения на неотрицательное число. Вершины конуса принадлежат подпространству
линейных функций.
В общем случае произведение выпуклых функций не является выпуклой функцией. Например,
y = x, y = l
−x
на [0, 2], тогда y = xl
−x
на отрезке [0, 2] является вогнутой функцией.
Студенту предлагается в качестве упражнения доказать следующее свойство
7. Пусть f
i
(x),i=1, 2,...,m — выпуклые неотрицательные монотонно возрастающие на R
1
функции, тогда функция f(x)=
f
i
(x) обладает теми же свойствами.
Анализ на выпуклость функций представляет сложную задачу. При этом будут очень полезны
следующие утверждения.
8. Пусть h(x) — выпуклая функция, P (y) — выпуклая и неубывающая. Тогда f (x)=P (h(x)) —
выпуклая функция.
Действительно, для любых x
1
,x
2
имеем
f(λx
1
+(1− λ)x
2
)=P (h(λx
1
+(1− λ)x
2
)) ≤ P (λh(x
1
)+(1− λ)h(x
2
)) ≤
≤ λP (h(x
1
)) + (1 − λ)P (h(x
2
)) ≤ λf(x
1
)+(1− λ)f (x
2
)
Таким образом, композиция выпуклых функций является выпуклой функцией. Это утверждение
позволяет исследовать функцию, представляя ее как композицию функций, свойство выпуклости
которых уже установлено.
Упражнение 3. Пользуясь этим утверждением студенту предлагается доказать, что если h(x)
— вогнутая, то (h(x))
p
, 1/h(x) — выпуклые функции для h(x) > 0, P ≥ 1, P ≤ 1.
9. Пусть h(x, t) — выпуклая по x для каждого фиксированного t, тогда, если функция P (t) —
неотрицательная, интеграл
L(x)=
P
h(x, t)P (t)dt
Действительно, для любых x
1
,x
2
∈ M
L(αx
1
+(1− α)x
2
)=
h(αx
1
+(1− α)x
2
,t)P (t)dt ≤
[αh(x
1
)+(1− α)h(x
2
)]
6

   Большой интерес для теоретических и практических исследований имеет вопрос о математиче-
ских операциях над выпуклыми функциями, которые не нарушают ее выпуклости.
   Легко видеть, что операция взятия абсолютной величины выпуклой функции в общем случае
нарушает условие выпуклости. Рис 2 а, б.

                                               f(x)                    |f(x)|




                                     Рис 2а                   Рис 2б

   Очевидно, что выпуклость f (x) не нарушается, если f (x) ≥ 0.
   Аналогично операция возведения в квадрат может нарушить свойство выпуклости функции.
Функция f 2 (x) остается выпуклой функцией, если f (x) — выпуклая неотрицательная функция.
   Возведение в куб также может привести к нарушению выпуклости функции. Например, y = x
— выпуклая функция, а y = x3 не является выпуклой, однако будет квазивыпуклой.
    6. Выпуклые функции можно складывать с неотрицательными коэффициентами. Это свойство
       означает, что подмножество выпуклых функций в пространстве непрерывных на множестве M
       функций есть выпуклый конус, то есть множество замкнутое относительно операции сложе-
       ния и умножения на неотрицательное число. Вершины конуса принадлежат подпространству
       линейных функций.
   В общем случае произведение выпуклых функций не является выпуклой функцией. Например,
y = x, y = l−x на [0, 2], тогда y = xl−x на отрезке [0, 2] является вогнутой функцией.
   Студенту предлагается в качестве упражнения доказать следующее свойство
    7. Пусть fi (x), i = 1, 2, . . . , m — выпуклые
                                                   неотрицательные монотонно возрастающие на R1
       функции, тогда функция f (x) = fi (x) обладает теми же свойствами.
Анализ на выпуклость функций представляет сложную задачу. При этом будут очень полезны
следующие утверждения.
    8. Пусть h(x) — выпуклая функция, P (y) — выпуклая и неубывающая. Тогда f (x) = P (h(x)) —
       выпуклая функция.
Действительно, для любых x1 , x2 имеем

              f (λx1 + (1 − λ)x2 ) = P (h(λx1 + (1 − λ)x2 )) ≤ P (λh(x1 ) + (1 − λ)h(x2 )) ≤
                       ≤ λP (h(x1 )) + (1 − λ)P (h(x2 )) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 )
Таким образом, композиция выпуклых функций является выпуклой функцией. Это утверждение
позволяет исследовать функцию, представляя ее как композицию функций, свойство выпуклости
которых уже установлено.
   Упражнение 3. Пользуясь этим утверждением студенту предлагается доказать, что если h(x)
— вогнутая, то (h(x))p , 1/h(x) — выпуклые функции для h(x) > 0, P ≥ 1, P ≤ 1.
    9. Пусть h(x, t) — выпуклая по x для каждого фиксированного t, тогда, если функция P (t) —
       неотрицательная, интеграл              
                                        L(x) = h(x, t)P (t)dt
                                                      P

Действительно, для любых x1 , x2 ∈ M
                                                             
         L(αx1 + (1 − α)x2 ) = h(αx1 + (1 − α)x2 , t)P (t)dt ≤ [αh(x1 ) + (1 − α)h(x2 )]

Страницы