Выпуклые функции и их свойства. Горячев Л.В. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

4
+λbx
1
+(1− λbx
2
+ λc +(1− λ)c = x
T
2
Bx
2
+ λx
T
1
B(x
1
− x
2
)−
−λx
T
2
B(x
1
− x
2
)+λx
T
2
B(x
1
− x
2
)+λ(x
1
− x
2
)
T
Bx
2
+ λbx
1
+(1− λ)bx
2
+
+λc +(1− λ)c = x
T
2
Bx
2
− λx
T
2
Bx
2
+ λx
T
1
Bx
1
− λx
T
1
Bx
2
+ λx
T
1
Bx
2
+
+λbx
1
+(1− λ)bx
2
+ λc +(1− λ)c = λ(x
T
1
Bx
1
+ bx
1
+ c)+
(1 − λ)(x
T
2
Bx
2
+ bx
2
+ c)=λy(x
1
)+(1− λ)y(x
2
)
3. Пользуясь определением, можно установить выпуклость квадратного скалярного произведе-
ния y =(a, x)
2
. Действительно,
y(λx
1
+(1− λ)x
2
)=(a, λx
1
+(1− λ)x
2
)
2
=(a, x
2
+ λ(x
1
− x
2
))
2
=
=[(a, x
2
)+λ(a, x
1
− x
2
)]
2
=(a, x
2
)
2
+2λ(a, x
2
)(a, x
1
− x
2
)+
+λ
2
(a, x
1
− x
2
)
2
≤ (a, x
2
)
2
+2λ(a, x
2
)(a, x
1
− x
2
)+λ(a, x
1
− x
2
)
2
=
=(a, x
2
)
2
+ λ [2(a, x
2
) − (a, x
1
− x
2
)] (a, x
1
− x
2
)=(a, x
2
)
2
+ λ[(a, x
1
)
2
−
−(a, x
2
)
2
]=λ(a, x
1
)
2
+(1− λ)(a, x
2
)
2
= λy(x
1
)+(1− λ)y(x
2
)
Однако часто одного определения выпуклой функции оказывается недостаточно для анализа функ-
ции и требуется применение более глубоких свойств, определяющих выпуклость.
Перечислим простые свойства выпуклых функций, наиболее часто используемые в теоретиче-
ских и практических задачах. Знание этих свойств является обязательным для студента, прослу-
шавшего курс "Методы оптимизации".
1. Выпуклые функции непрерывны во всех внутренних точках области определения.
2. Каждой выпуклой функции можно поставить в соответствие множество, называемое эпигра-
фом. Часто для выпуклой функции оно называется надграфиком, для вогнутой - подгра-
фиком, и обозначается epi f (x).Еслиf(x) выпуклая, то epi f(x)={(x, z) | x ∈ M,z ≥ f(x)}.
В практических случаях анализ на выпуклость некоторой функции можно заменить иссле-
дованием ее эпиграфа. Эпиграф часто используется при доказательстве различных свойств
выпуклых функций.
3. Неравенство Иенсена: пусть f(x) — выпуклая функция x ∈ M ⊂ R
n
, тогда
f
i
α
i
x
i
≤
i
α
i
f(x
i
),
m
i=1
α
i
=1,α
i
≥ 0,x
i
∈ M
Действительно, в этом случае epi f(x) будет выпуклым множеством и (x
i
,f(x
i
)) ∈ epi f, x
i
∈
M, а значит
α
i
(x
i
,f(x
i
)) = (
α
i
x
i
,
α
i
f(x
i
)) ∈ epi f, откуда следует требуемое неравен-
ство.
Часто условие выполнения неравенства Иенсена используется в качестве определения выпук-
лой функции.
4. Важнейшим свойством выпуклой функции, широко используемым в практике решения экс-
тремальных задач, является следующее:
Если f(x) — выпуклая функция, то множество
G = {x |f(x) ≤ γ, γ = const}
является выпуклым.
Доказательство его легко приводится по основе определения.
Для вогнутой функции g(x) множество
G = {x |g(x) ≥ γ, γ = const}
также является выпуклым.
4

                        +λbx1 + (1 − λbx2 + λc + (1 − λ)c = xT2 Bx2 + λxT1 B(x1 − x2 )−
                 −λxT2 B(x1 − x2 ) + λxT2 B(x1 − x2 ) + λ(x1 − x2 )T Bx2 + λbx1 + (1 − λ)bx2 +
                    +λc + (1 − λ)c = xT2 Bx2 − λxT2 Bx2 + λxT1 Bx1 − λxT1 Bx2 + λxT1 Bx2 +
                          +λbx1 + (1 − λ)bx2 + λc + (1 − λ)c = λ(xT1 Bx1 + bx1 + c)+
                                 (1 − λ)(xT2 Bx2 + bx2 + c) = λy(x1 ) + (1 − λ)y(x2 )

    3. Пользуясь определением, можно установить выпуклость квадратного скалярного произведе-
       ния y = (a, x)2 . Действительно,
                     y(λx1 + (1 − λ)x2 ) = (a, λx1 + (1 − λ)x2 )2 = (a, x2 + λ(x1 − x2 ))2 =
                                                     2
                        = [(a, x2 ) + λ(a, x1 − x2 )] = (a, x2 )2 + 2λ(a, x2 )(a, x1 − x2 )+
                     +λ2 (a, x1 − x2 )2 ≤ (a, x2 )2 + 2λ(a, x2 )(a, x1 − x2 ) + λ(a, x1 − x2 )2 =
                   = (a, x2 )2 + λ [2(a, x2 ) − (a, x1 − x2 )] (a, x1 − x2 ) = (a, x2 )2 + λ[(a, x1 )2 −
                        −(a, x2 )2 ] = λ(a, x1 )2 + (1 − λ)(a, x2 )2 = λy(x1 ) + (1 − λ)y(x2 )

Однако часто одного определения выпуклой функции оказывается недостаточно для анализа функ-
ции и требуется применение более глубоких свойств, определяющих выпуклость.
   Перечислим простые свойства выпуклых функций, наиболее часто используемые в теоретиче-
ских и практических задачах. Знание этих свойств является обязательным для студента, прослу-
шавшего курс "Методы оптимизации".

    1. Выпуклые функции непрерывны во всех внутренних точках области определения.

    2. Каждой выпуклой функции можно поставить в соответствие множество, называемое эпигра-
       фом. Часто для выпуклой функции оно называется надграфиком, для вогнутой - подгра-
       фиком, и обозначается epi f (x). Если f (x) выпуклая, то epi f (x) = {(x, z) | x ∈ M, z ≥ f (x)}.
       В практических случаях анализ на выпуклость некоторой функции можно заменить иссле-
       дованием ее эпиграфа. Эпиграф часто используется при доказательстве различных свойств
       выпуклых функций.

    3. Неравенство Иенсена: пусть f (x) — выпуклая функция x ∈ M ⊂ Rn , тогда
                                                        m
                                                            
                             f         αi xi ≤  αi f (xi ),   αi = 1, αi ≥ 0, xi ∈ M
                                   i            i             i=1

      Действительно,
                    в этом случае epi     f (x) будет
                                                        выпуклым множеством и (xi , f (xi )) ∈ epi f, xi ∈
      M , а значит   αi (xi , f (xi )) = ( αi xi ,   αi f (xi )) ∈ epi f , откуда следует требуемое неравен-
      ство.
      Часто условие выполнения неравенства Иенсена используется в качестве определения выпук-
      лой функции.

    4. Важнейшим свойством выпуклой функции, широко используемым в практике решения экс-
       тремальных задач, является следующее:
      Если f (x) — выпуклая функция, то множество

                                            G = {x | f (x) ≤ γ, γ = const}

      является выпуклым.
      Доказательство его легко приводится по основе определения.
      Для вогнутой функции g(x) множество

                                            G = {x | g(x) ≥ γ, γ = const}

      также является выпуклым.

Страницы