Выпуклые функции и их свойства. Горячев Л.В. - 5 стр.

                                                                                              5

   Таким образом, если целевая функция является выпуклой (вогнутой) и ограничения удовлетво-
ряют указанным условиям, то мы относим задачу к задачам выпуклого (вогнутого) программиро-
вания и выбираем метод ее решения.
   Исходя из этого, следует отметить, что указанным свойством обладают не только выпуклые
функции, но и так называемые квазивыпуклые функции.
   Определение. Функция f (x) называется квазивыпуклой, если для данных x1 , x2 ∈ Rn и любого
α, 0 ≤ α ≤ 1
                            f (αx1 + (1 − α)x2 ) ≤ min{f (x1 ), f (x, 2)}
. Строгое неравенство для 0 < α < 1 определяет строго квазивыпуклую функцию.
   Примерами квазивыпуклых функций могут служить функции, изображенные на рис 1 а, б, в.




                       Рис 1а                      Рис 1б                  Рис 1в


   К квазивыпуклым также относятся функции
                                
                                  0   x<0
                        f (x) =
                                  −xn x ≥ 0, n ≥ 2 натуральное

Эта функция является вогнутой и квазивыпуклой. Квазивыпуклая функция может иметь разрыв
первого рода.
   Определение. Квазивогнутой функцией называют функцию f (x) такую, что для любых x1 , x2 ∈
M и Θ, 0 ≤ Θ ≤ 1 верно
                           f (Θx1 + (1 − Θ)x2 ) ≥ min{f (x1 ), f (x2 )}
Как и для выпуклых функций, если f (x) — квазивыпуклая функция, то −f (x) — квазивогнутая.
  Теорема. Функция f (x) квазивогнутая тогда и только тогда, когда множество M = {x | f (x) ≥ j}
выпукло для любой скалярной величины (см. упражнение 2).
   Снова обратимся к свойствам выпуклой функции.

  5. Весьма важным в практическом отношении является свойство функции "максимума": пусть
     fi (x), i = 1, 2, . . . , m — выпуклые функции, тогда функция

                                f (x) = max {fi (x), i = 1, 2, . . . , m, x ∈ M }
                                          i

     Конечно, такая функция, как правило, недифференцируема.
     В задачах на min i max рассматривается задача

                          min f (x) = min max {fi (x), i = 1, 2, . . . , m, x ∈ M }
                           x              x    i


   Упражнение 1. Пусть ϕ(x) = maxy f (x, y), x ∈ M , y ∈ G, M — выпуклое множество, G —
компакт, f (x, y) — выпуклая по x на M при каждом фиксированном y. Показать выпуклость.
   Упражнение 2. Доказать теорему о квазивогнутости функции.
   Замечание. Операция max сохраняет свойство выпуклости. В то же время операция min, вообще
говоря, его не сохраняет. Для того, чтобы операция сохраняла свойство выпуклости, необходимо
накладывать ряд довольно жестких условий. Например, справедливо утверждение: Функция ϕ =
min f (x, y), x ∈ M , y ∈ G, M — выпуклое множество, G — выпуклый компакт, f (x, y) — выпуклая
по совокупности переменных. При соблюдении этих условий функция ϕ(x) является выпуклой. Как
видим, здесь требуется выпуклость G и выпуклость f (x, y) уже по совокупности переменных.