Составители:
Рубрика:
2
,
2
2
ϕ
ϕ
f
dt
d
J −=
(6.4)
где J — момент инерции маятника,
ε
ϕ
=
2
2
dt
d
— его угловое ускорение. Последнее уравнение можно привести к виду
.0
2
2
=+
ϕ
ϕ
J
f
dt
d
(6.5)
Введя обозначение
,
2
0
ω
=
J
f
(6.6)
придём к уравнению свободных колебаний
.0
2
0
2
2
=+
ϕω
ϕ
dt
d
(6.7)
Его решение имеет вид
ϕ
=
α
cos(
ω
0
t+
ψ
), (6.8)
где
α
— амплитуда колебаний угла
ϕ
,
ψ
— начальная фаза. Следовательно, при малых колебаниях угловое отклоне-
ние крутильного маятника от положения равновесия изменяется со временем по гармоническому закону.
Как следует из (6.6) циклическая частота и период малых колебаний крутильного маятника равны:
,
0
J
f
=
ω
.2
0
J
f
T
π
=
(6.9)
Задача эксперимента: определить скорость v
0
полёта снаряда. Удар снаряда следует рассматривать как неуп-
ругий: после удара и снаряд, и соответствующая точка мишени будут двигаться с одинаковыми скоростями.
Рассмотрим подробнее явления, происходящие при ударе. Сначала снаряд, ударившись о мишень, за ничтож-
но малый промежуток времени приводит маятник в движение с угловой скоростью
ω
и сообщает ему кинетическую
энергию
,
2
2
к
ω
J
W =
(6.10)
где J — момент инерции системы маятник-снаряд относительно оси вращения. Момент инерции системы, рассматри-
ваемой в данной задаче, равен сумме момента инерции маятника J
0
и момента инерции снаряда J
с
. Так как размер сна-
ряда много меньше расстояния его от оси вращения, то момент инерции снаряда можно определить по формуле мо-
мента инерции материальной точки: J
с
=m
с
r
2
. Здесь r — расстояние от оси маятника до центра снаряда в месте пора-
жения мишени, m
с
— масса снаряда. Следовательно,
J=J
0
+m
с
r
2
. (6.11)
Затем маятник поворачивается на угол
α
и останавливается. В отклонённом положении маятник будет обла-
дать потенциальной энергией
.
2
2
п
α
f
W =
(6.12)
Потенциальная энергия получена за счёт кинетической энергии и равна ей по закону сохранения энергии.
Приравняв правые части равенств (6.10) и (6.12), с учётом (6.11) получим:
(
)
.
22
222
с0
αω
frmJ
=
+
(6.13)
Поскольку при вращении тела вокруг свободной оси момент относительно этой оси всех внешних сил, дейст-
вующих на систему, тождественно равен нулю, то при ударе снаряда о мишень будет справедлив закон сохранения
момента импульса.
В начальный момент удара угловая скорость маятника
ω
0
=0, поэтому его момент импульса L
01
=J
0
ω
0
=0. Сна-
ряд коснулся мишени и начал углубляться в мишень, сообщая маятнику угловое ускорение и участвуя во вращении
маятника около оси. Начальный момент импульса снаряда L
02
=m
с
v
0
r. В конечный момент удара маятник имел угловую
скорость
ω
, а снаряд — линейную скорость v, равную линейной скорости точек мишени, находящихся на расстоянии r
от оси вращения. Так как v=
ω
r,то конечный момент импульса снаряда L
2
=m
с
vr=m
с
r
2
ω
. Конечный момент импульса
маятника L
1
=J
0
ω
.
d 2ϕ
J 2 = − fϕ , (6.4)
dt
d 2ϕ
где J момент инерции маятника, = ε его угловое ускорение. Последнее уравнение можно привести к виду
dt 2
d 2ϕ f
+ ϕ = 0. (6.5)
dt 2 J
Введя обозначение
f
= ω 02 , (6.6)
J
придём к уравнению свободных колебаний
d 2ϕ
2
+ ω 02ϕ = 0. (6.7)
dt
Его решение имеет вид
ϕ=α cos(ω0t+ψ), (6.8)
где α амплитуда колебаний угла ϕ, ψ начальная фаза. Следовательно, при малых колебаниях угловое отклоне-
ние крутильного маятника от положения равновесия изменяется со временем по гармоническому закону.
Как следует из (6.6) циклическая частота и период малых колебаний крутильного маятника равны:
f f
ω0 = , T0 = 2π . (6.9)
J J
Задача эксперимента: определить скорость v0 полёта снаряда. Удар снаряда следует рассматривать как неуп-
ругий: после удара и снаряд, и соответствующая точка мишени будут двигаться с одинаковыми скоростями.
Рассмотрим подробнее явления, происходящие при ударе. Сначала снаряд, ударившись о мишень, за ничтож-
но малый промежуток времени приводит маятник в движение с угловой скоростью ω и сообщает ему кинетическую
энергию
Jω 2
Wк = , (6.10)
2
где J момент инерции системы маятник-снаряд относительно оси вращения. Момент инерции системы, рассматри-
ваемой в данной задаче, равен сумме момента инерции маятника J0 и момента инерции снаряда Jс. Так как размер сна-
ряда много меньше расстояния его от оси вращения, то момент инерции снаряда можно определить по формуле мо-
мента инерции материальной точки: Jс=mсr2. Здесь r расстояние от оси маятника до центра снаряда в месте пора-
жения мишени, mс масса снаряда. Следовательно,
J=J0+mсr2. (6.11)
Затем маятник поворачивается на угол α и останавливается. В отклонённом положении маятник будет обла-
дать потенциальной энергией
fα 2
Wп = . (6.12)
2
Потенциальная энергия получена за счёт кинетической энергии и равна ей по закону сохранения энергии.
Приравняв правые части равенств (6.10) и (6.12), с учётом (6.11) получим:
(J 0 )
+ mс r 2 ω 2
=
fα 2
. (6.13)
2 2
Поскольку при вращении тела вокруг свободной оси момент относительно этой оси всех внешних сил, дейст-
вующих на систему, тождественно равен нулю, то при ударе снаряда о мишень будет справедлив закон сохранения
момента импульса.
В начальный момент удара угловая скорость маятника ω0=0, поэтому его момент импульса L01=J0ω0=0. Сна-
ряд коснулся мишени и начал углубляться в мишень, сообщая маятнику угловое ускорение и участвуя во вращении
маятника около оси. Начальный момент импульса снаряда L02=mсv0r. В конечный момент удара маятник имел угловую
скорость ω, а снаряд линейную скорость v, равную линейной скорости точек мишени, находящихся на расстоянии r
от оси вращения. Так как v=ωr,то конечный момент импульса снаряда L2=mсvr=mсr2ω. Конечный момент импульса
маятника L1=J0ω.
2
