Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

33
переменную силу – постоянной. Элемен-
тарную работу
A
∂
при элементарном пе-
ремещении dr
G
можно выразить соотно-
шением:
(
)
,cosAFdr Fdr
α
∂= = ⋅ ⋅
G
G
G
G
. (8.3)
Элементарная работа обозначена символом
частного дифференциала
A
∂ , поскольку
сила F
G
может быть функцией неско-
льких переменных: времени, скорости,
Рис. 8.2 координат, а проекция силы на направле-
ние движения F
G
зависит и от угла
α
между направлением действия силы
и направлением движения. Поэтому работа не является однозначной одно-
значной функцией координаты. Это означает, что элементарная работа не
является полным дифференциалом функции координат.
8.2. Вычисление работы на конечном отрезке пути
Рассмотрим перемещение материальной точки по произвольной тра-
ектории
M
N (рис. 8.2) под действием переменной силы. Для расчёта рабо-
ты переменной силы необходимо разбить траекторию на бесконечно ма-
лые участки
ii
SrΔ=Δ
G
такие, в пределах которых перемещение можно счи-
тать прямолинейным, а силу постоянной. Элементарная работа
i
A
Δ на ка-
ждом из таких участков определяется соотношением:
iiiii
A
FSF r
ττ
Δ= ⋅Δ= ⋅Δ
G
. (8.4)
На отрезке
M
N работа переменной силы равна сумме элементарных
работ на участках
i
SΔ , причём, чем меньше размер участков
i
SΔ , тем точ-
нее можно рассчитать работу этой силы:
0
1
lim
i
n
M
Nii
r
i
n
A
Fr
τ
Δ→
=
→∞
=
⋅Δ
∑
.
Если предел этой суммы существует, то в пределе n →∞ эта сумма
преобразуется в криволинейный интеграл первого рода вдоль линии
M
N :
(
)
,
MN
MN MN
A
Fdr Fdr
τ
=⋅=
∫∫
G
G
. (8.5)
Вычисление такого интеграла сводится к нахождению определённо-
го интеграла:
()
2
12
1
,
MN
A
AFdr
→
==
∫
G
G
. (8.6)
Размерность работы (и энергии):
[] [][]
A
FL
Н
мДж
=
⋅=⋅=
(Джоуль). 
                                    переменную силу – постоянной. Элемен-
                                    тарную работу ∂A при элементарном пе-
                                                   �
                                    ремещении dr можно выразить соотно-
                                    шением:
                                             � �      �
                                                        (  �
                                                                    )
                                       ∂ A = F , dr = F ⋅ dr ⋅ cos α . (8.3)
                                Элементарная работа обозначена символом
                                      � дифференциала ∂A , поскольку
                                частного
                                сила F может быть функцией неско-
                                льких переменных: времени, скорости,
             Рис.
              � 8.2            координат, а проекция силы на направле-
ние движения Fτ зависит и от угла α между направлением действия силы
и направлением движения. Поэтому работа не является однозначной одно-
значной функцией координаты. Это означает, что элементарная работа не
является полным дифференциалом функции координат.

            8.2. Вычисление работы на конечном отрезке пути

      Рассмотрим перемещение материальной точки по произвольной тра-
ектории MN (рис. 8.2) под действием переменной силы. Для расчёта рабо-
ты переменной силы необходимо разбить траекторию на бесконечно ма-
                   �
лые участки ΔSi = Δri такие, в пределах которых перемещение можно счи-
тать прямолинейным, а силу постоянной. Элементарная работа ΔAi на ка-
ждом из таких участков определяется соотношением:
                                                      �
                           ΔAi = Fτ i ⋅ ΔSi = Fτ i ⋅ Δri .           (8.4)
      На отрезке MN работа переменной силы равна сумме элементарных
работ на участках ΔSi , причём, чем меньше размер участков ΔSi , тем точ-
нее можно рассчитать работу этой силы:
                                            n
                            AMN = lim ∑ Fτ i ⋅ Δri .
                                    Δri →0
                                    n →∞ i =1

     Если предел этой суммы существует, то в пределе n → ∞ эта сумма
преобразуется в криволинейный интеграл первого рода вдоль линии MN :
                                           � �
                       AMN = ∫ Fτ ⋅ dr = ∫ F , dr .         (    (8.5)  )
                               MN                   MN
      Вычисление такого интеграла сводится к нахождению определённо-
го интеграла:
                                      2
                                        � �
                         AMN = A1→2 = ∫ F , dr .    (           )
                                                                (8.6)
                                                1
     Размерность работы (и энергии): [ A] = [ F ] ⋅ [ L] = Н ⋅ м = Дж (Джоуль).


                                       33

Страницы