Математические методы в географии. Гриценко В.А - 58 стр.

      Глава 4. ПРАКТИЧЕСКИЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

    С древних времен отмечалось, что многие природные процессы явля-
ются периодическими или почти периодическими явлениями, то есть та-
кими, которые воспроизводятся в прежнем виде через определенный про-
межуток времени Т, называемый периодом. Таковыми, например, являют-
ся смена времен года, дня и ночи, продолжительность светового дня и т.д.
С точки зрения математики, различные величины, связанные с рассматри-
ваемыми периодическими явлениями, по истечении периода Т возвраща-
ются к своим прежним значениям и представляют, следовательно, перио-
дические функции от времени t:
                               f(t+T) = f(t).
   Простейшей из периодических функций является синусоидальная ве-
личина: где ω есть частота, связанная с периодом Т. Однако далеко не каж-
дый природный процесс можно описать функцией указанного вида.

            1. Постановка задачи гармонического анализа

    Из простейших периодических функций могут быть составлены более
сложные. При этом составляющие синусоидальные величины должны
быть разных частот, так как сложение синусоидальных величин одной и
той частоты не дает ничего нового, а приводит к синусоидальной величине
той же частоты.
    Естественно, встает обратный вопрос: можно ли данную периодиче-
скую функцию f(t) периода Т представить в виде суммы конечного или хо-
тя бы бесконечного множества синусоидальных величин. Как известно из
классического анализа, по отношению к достаточно широкому классу
функций на этот вопрос можно дать утвердительный ответ, то есть для них
имеет место разложение в тригонометрический ряд или ряд Фурье.
    Геометрически это означает, что график периодической функции полу-
чается путем наложения ряда синусоид. Если же истолковать каждую си-
нусоидальную величину механически, как представляющую гармониче-
ское колебательное движение, то можно также сказать, что в этом случае
сложное колебание (каковыми являются все колебания, встречающиеся в

56