Математические методы в географии. Гриценко В.А - 59 стр.

природе), характеризуемое функцией f(t), разлагается на отдельные гармо-
нические колебания. В связи с этим отдельные синусоидальные величины,
входящие в состав тригонометрического ряда, называют гармоническими
составляющими функции f(t), или просто ее гармониками (первой, второй
и т.д.) Сам процесс разложения периодической функции на гармоники но-
сит название гармонического анализа [27].
    Итак, гармоническим анализом называют операцию разложения задан-
ной периодической функции f(x) в ряд Фурье. Если функция f(x) задана
аналитически, то задача ее гармонического анализа полностью решается с
помощью известных из классического анализа формул Эйлера-Фурье для
вычисления коэффициентов ряда Фурье. Однако в огромном числе практи-
ческих задач подлежащая анализу функция f(x) оказывается заданной в ви-
де таблицы, полученной в результате измерений, или в виде кривой, вы-
черченной самопишущим прибором. Тогда точное вычисление коэффици-
ентов Фурье по формулам Эйлера-Фурье невозможно. Таким образом, в
нашем случае задача гармонического анализа заключается в построении
практически удобных методов для приближенного определения коэффи-
циентов ряда Фурье или для непосредственного вычерчивания гармоник
различных порядков для функции, заданной таблично.

                   2. Разложение функций в ряд Фурье

    Будем предполагать, что функция f(x) – периодическая, с периодом 2π
(f(x+2р)=f(x)). Как известно, это всегда обеспечивается соответствующим
изменением масштаба по оси Ох.
    Основная задача гармонического анализа состоит в представлении
функции f(x) в виде ряда:
                               a0 ∞
                    f ( x) =     + ∑ (an cos(nx ) + bn sin(nx )) .               (1)
                               2 n =1
Полагая
                                                       an                 bn
            cn =   (an )2 + (bn )2 ,       sin ϕ n =      ,   cos ϕ n =      ,   (2)
                                                       cn                 cn
ряд (1) можно переписать в виде:
                                       a0 ∞
                           f ( x) =      + ∑ cn sin(nx + ϕ n )                   (3)
                                       2 n =1
Здесь сn – амплитуда гармоники, ϕn – фаза. Коэффициенты ряда (1) – ряда
Фурье – определяют по формулам Эйлера-Фурье:

                                                                                 57