Математические методы в географии. Гриценко В.А - 60 стр.

                                                  2π
                                          1
                                  a0 =
                                         π
                                              ⋅   ∫ f ( x )dx,
                                                   0
                                                  2π
                                          1
                                  an =
                                          π
                                              ⋅   ∫ f ( x ) ⋅ cos(nx )dx,                             (4)
                                                   0
                                                  2π
                                          1
                                  bn =
                                         π
                                              ⋅   ∫ f ( x ) ⋅ sin(nx )dx.
                                                  0

     Пусть промежуток от 0 до 2π разделен точками
                                      x1, x2,          , xk-1 (xi=2πi/k)
на k равных частей и пусть известны соответствующие ординаты –
                                      y0, y1, y2, , yk-1, yk=y0.
Тогда для вычисления интегралов в формулах (4) можно применить раз-
личные приближенные методы. Так, по формуле трапеций получим:
                             1        π ⎛ y0                       y ⎞
                      a0 =       ⋅2    ⋅ ⎜ + y1 + y2 + K + y k −1 + k ⎟ .
                             π        k ⎝ 2                                   2 ⎠
Отсюда в силу того, что y0=yk,
                                 k
                                   ⋅ a0 = y0 + y1 + y 2 + K + y k −1 .                                (5)
                                 2
Аналогично для определения коэффициентов an и bn формула трапеций да-
ет:
 k                     ⎛ 2π           ⎞            ⎛ 4π          ⎞                   ⎛ 2(k − 1)π   ⎞
   ⋅ ak = y0 + y1 ⋅ cos⎜ n ⋅          ⎟ + y 2 ⋅ cos⎜ n ⋅         ⎟ + K + y k −1 ⋅ cos⎜ n ⋅         ⎟ , (6)
 2                     ⎝     k        ⎠            ⎝     k       ⎠                   ⎝     k       ⎠

     k                     ⎛ 2π       ⎞            ⎛ 4π          ⎞                   ⎛ 2(k − 1)π   ⎞
       ⋅ bk = y0 + y1 ⋅ sin⎜ n ⋅      ⎟ + y 2 ⋅ sin⎜ n ⋅         ⎟ + K + y k −1 ⋅ sin⎜ n ⋅         ⎟ , (7)
     2                     ⎝     k    ⎠            ⎝     k       ⎠                   ⎝     k       ⎠
Окончательно получим:
                                           2 k −1
                                      a 0 = ⋅ ∑ yi ,
                                           k i =0
                                           2 k −1
                                      a k = ⋅ ∑ y i ⋅ cos(kx i ),
                                           π i =0
                                           2 k −1
                                      b k = ⋅ ∑ y i ⋅ sin(kx i ).
                                           π i =0
Последние формулы носят название формул Бесселя. Они могут быть по-
лучены из формул для коэффициентов Фурье (4) функции f(x), если вычис-

58