Бескоалиционные игры в нормальной форме. Часть 1. Григорьева К.В. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

36 37
1
x
2
x
3
x
4
x
1
R
2
R
1
R
4*
0 –1 2/3 1 –2/3
1/3
2
x
0 1 0 –1/3
0 1/3 1/3
j
4 0 –1 2/3 0 –5/3
2–5/3
1
x
1 0 –1/4
1/6 1/4
–1/6
1/12
2
x
0 1 0 –1/3
0 1/3 1/3
j
0 0 0 0 –1
–1 0
1
x
2
x
3
x
4
x
1
x
1 0 –1/4
1/6 1/12
2
x
0 1 0 –1/3
1/3
F
–1/4
–1/6
5/12
.12/5;3/1;12/1
2
1
=
=
x
=
x
F
Решим теперь задачу
.0,...,
;132
;14
max;
4
1
421
31
21
³hh
=h+h+h
=h+h
®
h
+
h
=
F
Составим симплекс-таблицу:
1
h
2
h
3
h
4
h
2
h
4*
0 1 0 1
4
h
2 3 0 1 1
F
1 1 0 0 0
и решим симплекс-методом.
1
h
2
h
3
h
4
h
1
h
1 0 1/4 0 1/4
4
h
0 3* –1/2
1 1/2
F
0 1 –1/4
0 –1/4
1
h
2
h
3
h
4
h
1
h
1 0 1/4 0 1/4
2
h
0 1 –1/6 1/3 1/6
F
0 0 –1/12
–1/3
–5/12
( )
( )
.5/2,5/3
125
61
,
125
41
125
~
;5/4,5/1
125
31
,
125
121
125
~
;
12
/
5
~
~
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
==
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
==Þ
=
q
=
=
Þ
y
y
x
x
u
y
u
x
Пусть
X
и
Y
– множества оптимальных решений задач (4.9) и (4.10)
соответственно. Обозначим
.0,
1
,
1
>q
þ
ý
ü
î
í
ì
Î
q
=
q
þ
ý
ü
î
í
ì
Î
q
=
q
Yy
y
YXx
x
X
Напомним, что множество оптимальных смешанных стратегий
обозначается
(
)
A
GZ
, а проекции множества оптимальных стратегий –
(
)
A
GZ
на
I
S
и
II
S
–
*
I
S
и
*
II
Σ
соответственно, т. е.. е.
(
)
(
)
( )
( )
.,,,
;,,,
}{
}{
**
I
*
II
***
II
**
II
*
I
***
I
A
A
GZyxxyy
GZyxyxx
ÎSÎ$SÎ=S
ÎSÎ$SÎ=S
Теорема 4.2. Пусть
A
G
–
(
)
nm
´
-игра с положительной матрицей А
и даны две двойственные задачи ЛП (4.9) и (4.10). Тогда возможны
следующие варианты:
1. Обе ЗЛП имеют решение (
0
/
¹
X
и
0
/
¹
Y
), при этомом
.maxmin ywxu
y
x
=
=
q
2. Значение
A
v
игры
A
G
равно
q
=
1
A
v
, а стратегии
q
=
q
=
y
y
x
x
**
,
являются оптимальными, где
X
x
Î
– оптимальное решение прямой
задачи (4.9), а
Yy Î
– двойственной задачи (4.10).
3. Любые оптимальные стратегии
*
I
*
SÎx
и
*
II
*
SÎy
игроков могут
быть построены указанным способом, т. е.
.
1
,
1
*
II
*
I
YX
q
=S
q
=S

Страницы