Бескоалиционные игры в нормальной форме. Часть 1. Григорьева К.В. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

32 33
Каждый элемент матрицы А¢ разделим на 2. Новая матрица
принимает вид
.
020
200
001
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
¢¢
A
По лемме 4.2 значение игр связано равенством
2/1
=
=
¢¢¢¢
A
A
vv
(
)
12/1
+
=
A
v
.
Таким образом, требуется проверить, что значение игры
A
G
¢¢
равно
21
. Действительно,
(
)
21,,
=
¢
¢
=
yAxyxE . С другой стороны, для
каждой стратегии
II
å
Î
y
,
(
)
321
,,
h
h
h
y
имеем
(
)
1
2/1,
1
h
yxE
2/112/12/12/1
32
1
×
h
h
, а для всех
(
)
321
,,
x
x
x
x
,
X
x
Î
,
(
)
2/12/12/12/1,
321
x
x
x
yxE
. Следовательно, указанные страте-
гии
(
)
yx,
являются оптимальными, а
0
=
A
v
.
Докажем теорему 3.1.
Теорема 3.1. Всякая МИ имеет ситуацию равновесия в смешанных
стратегиях.
Доказательство. ЗЛП в определенном смысле эквивалентна
МИ
A
G
.
Рассмотрим ПЗ и ДЗ ЛП:
;0
,
min
³
³
x
wxA
xu
T
(4.9)
,0
,
,
max
³
£
y
uAy
yw
T
(4.10)
где
(
)
(
)
n
T
m
T
RwRu Î=Î= 1...,,1,1...,,1
, а матрица
{
A
ij
0>a=
}
njmi ,1,,1 =="
, т. е. строго положительная, откуда следует, чтоо
существует такой вектор
0
>
x
, для которого
T
w
xA
³
, т. е. задача (4.9)
имеет допустимое решение. С другой стороны, вектор
0
=
y
является
допустимым решением задачи (4.10), поэтому по теореме 4.1
двойственности ЛП обе задачи (4.9) и (4.10) имеют оптимальные решения
**
, yx
соответственно, при этомм
.0
**
>q== wyux
(4.11)
Пусть теперь
A
G
– произвольная
(
)
nm
´
-МИ. Покажем, что в этомом
случае теорема справедлива.
Рассмотрим векторы
q=
*
xx
и
q=
*
yy
и покажем, что они
являются оптимальными стратегиями игроков 1 и 2 соответственно
в игре
A
G
, при этом значение игры равно
q
1
.
Действительно, из (4.11) имеем
(
)
(
)
,1
**
==q=q= wywyuxux
а из допустимости
*
x
и
*
y
для задач (4.9), (4.10) следует, что о
0
*
³q= xx
и
0
*
³q= yy
, т. е.
x
и
y
– смешанные стратегии игроков 1 и 2
в игре
A
G
.
Вычислим выигрыш игрока 1 в ситуации
(
)
yx,
:
(
)
.,,,
2**
q== yAxyAxyxE
(4.12)
С другой стороны, из допустимости векторов
*
x
и
*
y
для задачч
(4.9), (4.10) и равенства (4.11) имеем
.,,
******
q=£=£=q uxAyxyAxwy
Таким образом,
q=
**
, yAx
; из (4.12) получаем, чтоо
(
)
.1,
q
=
yxE
(4.13)
Пусть
å
Î
y
x
,
– произвольные смешанные стратегии игроков 1
и 2. Тогда выполняются неравенства
(
)
(
)
;1,,,
*
q=q³q== wyyAxyAxyxE
(4.14)
(
)
(
)
.1,,,
*
q=q£q== xuAyxyAxyxE
(4.15)
Сравнивая (4.14) и (4.15), получаем, что
(
)
yx,
– ситуация равновесия,
а
q
1
– значение игры
A
G
со строго положительной матрицей А.

Страницы