Бескоалиционные игры в нормальной форме. Часть 1. Григорьева К.В. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

28 29
( ) ( )
( ) ( )
.
100,10000,0
0,01000,100
B
A
B
A
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
Очевидно, что ситуации (А, А) и (В, В) являются NE (в чистых
стратегиях). Найдем равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях.
Предположим, что в таком равновесии игрок 1 играет смешанную
стратегию
(
)
pp
-
1,
, а второй –
(
)
qq
-
1,
, причем
(
)
1,0,
Î
qp
.
Тогда получаем, что ожидаемый выигрыш игрока 2 от игры при
использовании стратегии А есть
(
)
pp
-
+
101000
, а от игры при
использовании стратегии В есть
(
)
pp 01100
+
-
×
, а значит
(
)
(
)
.01100011000 pppp
×
+
-
×
=
×
-
+
Отсюда
1100
=
p
и, следовательно,
111
=
p
. Аналогично
111
=
q
.
Пример 3.6. «Семейный спор». Как в предыдущем примере, Она,
выбирая Ф, получает
(
)
pp
-
+
×
101
, а выбирая Т, получает
(
)
pp
-
+
×
120
.
Следовательно,
(
)
pp
=
-
12
. Отсюда
2
3
=
p
, а следовательно,
32
=
p
.
Аналогично получаем
(
)
(
)
qqqq
-
×
+
×
=
×
-
+
110012
, а значит,
1
3
=
q
и
31
=
q
. Таким образом, в смешанном равновесии Он играет Ф
с вероятностью
32
, а Она играет Ф с вероятностью
31
.
Пример 3.7. «Голосование». Рассмотрим следующую ситуацию –
три игрока 1, 2, 3 и три альтернативы – A, B, C.
Игроки голосуют одновременно за одну из альтернатив,
воздержаться невозможно. Таким образом, пространство стратегий
{
}
CBAX
i
,,
=
. Альтернатива, получившая большинство, побеждает. Если
ни одна из альтернатив не получает большинства, то выбирается
альтернатива A. Функции выигрышей таковы:
(
)
(
)
(
)
;2
321
=
=
=
CEBEAE
(
)
(
)
(
)
;1
321
=
=
=
AECEBE
(
)
(
)
(
)
.0
321
=
=
=
BEAECE
В этой игре три равновесных исхода (в чистых стратегиях): A, B
и C. Посмотрим на равновесия (их больше 3): если игроки 1 и 3 голосуют
за A, то игрок 2 не изменит исход, как бы он ни голосовал, и игроку 3
безразлично, как он голосует. Таким образом,
(
)
AAA ,,
и
(
)
ABA ,,
– NE,
но
(
)
BAA ,,
– не NE, так как игроку 2 лучше голосовать за B.
ЗАНЯТИЕ № 4
Нахождение значения игры при помощи линейного
программирования (ЛП)
Напомним, что существует три формы задачи ЛП (ЗЛП)
:max
1
å
=
®
m
i
ii
xc
(4.1)
· общая задача (ограничения трех типов):
;,1,
1
pjbxa
j
n
i
iij
=£
å
=
;,1,
1
spjbxa
j
n
i
iij
+=³
å
=
(4.2)
;,1,
1
msjbxa
j
n
i
iij
+==
å
=
;,1,0 nix
i
=³
· основная задача (все ограничения – уравнения):
;,1,
1
mjbxa
j
n
i
iij
==
å
=
(4.3)
;,1,0 nix
i
=³
· каноническая задача:
;,1,
1
mjbxa
j
n
i
iij
=£
å
=
(4.4)
.,1,0 nix
i
=³

Страницы