Бескоалиционные игры в нормальной форме. Часть 1. Григорьева К.В. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

24 25
причем экстремумы по смешанным стратегиям
x
и
y
в (3.10) достига-
ются на оптимальных стратегиях игроков.
Пример 3.2. Возьмем матрицу
.
622
241
423
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-
Здесь
2
=
v
– по строкам,
3
=
v
– по столбцам. Следовательно, в чистых
стратегиях ситуации равновесия не существует. Будем искать ситуацию
равновесия в смешанных стратегиях.
Составим систему из 14 неравенств:
( ) ( )
ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
í
ì
=x³x
=h³h
"££
å
å
=
=
.1,0
;1,0
;,,,
1
1
m
i
ii
n
j
jj
jijxEvyiE
Решение может не получиться, так как могут быть отрицательные
числа. Нужно пользоваться многими комбинациями. Если всюду ставить
равенства, то задача не решается. Можно поставить строгие неравен-
ства. Не везде. Распишем эти неравенства.
.624622
;24224
;23423
3
2
1
3
2
1
321321
321321
x+x+x££h+h+h
x+x+x-££h+h+h-
x
+
x
-
x
£
£
+
-
v
v
v
.624;622
;242;24
;23;423
3
2
1
3
2
1
321321
321321
vv
vv
vv
>x+x+x=h+h+h
=x+x+x-=h+h+h-
=
x
+
x
-
x
<
+
-
Составим квадратную матрицу, учитывая равенства. Следовательно,
если
(
)
vyiE
<
,
, то
0
=
x
i
, если
(
)
vjxE
>
,
, то о
0
=
j
. Примем
0;0
31
=
h
=
x
. Тогда
)6(.62)3(;22
)5(;24)2(;4
)4(;2)1(;23
3
2
2
1
3221
3221
vv
vv
vv
>x+x=h+h
=x+x=h+h-
=
x
+
x
-
<
-
Вычтем (4) из (5).
0
2
=
x
Þ
,
1
3
=
x
Þ
2
=
Þ
v
52
1
=
Þ
Þ
532
1
2
=
-
=
Þ
v
. Следовательно, оптимальная стратегия
(
)
1,0,0
=
x
и
(
)
0,53,52
=
y
.
3.4. Равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях в биматричной
игре
Обобщим понятие ситуации равновесия на игру из
N
игроков.
Введем обозначения, используемые в игре в смешанных стратегиях.
ü
{
}
nN ,1
=
– множество игроков;
ü
Õ
=
å=å
ni
i
,1
– множество ситуаций в смешанных стратегиях;
ü
{
}
ii
s
=
å
– множество смешанных стратегий
i
s
i-го игрока,а,
N
i
Î
;
ü
i
k
– число чистых стратегий i-го игрока;
ü
{
}
j
i
i
s=s
–
j
-я смешанная стратегия i-го игрока,а,
iii
kjNi ,1,, =åÎsÎ
;
ü
j
i
s
– вероятность выбора i-м игроком
j
-й чистой стратегии, т. е.
элемент вектора
i
s
,
iii
kjNi ,1,,
=
å
Î
Î
;
ü
(
)
(
)
nii
EE
s
s
=
s
,,
1
K
– функция выигрыша i-го игрока;
ü набор стратегий
(
)
Ni
iin
Î
"
å
Î
=
,,,
1
K
, называется
ситуацией игры.
Определение 3.11. Если
i
X
– конечное множество чистых стратегий
игрока i, то смешанная стратегия
[
]
1,0:
®
s
ii
X
ставит в соответствие
каждой чистой стратегии
i
j
i
Xx Î
вероятность
0³s
j
i
того, что она будет

Страницы