Бескоалиционные игры в нормальной форме. Часть 1. Григорьева К.В. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

22 23
Теорема 3.2. Необходимое и достаточное условие существования
равновесия.
Для того чтобы ситуация
(
)
yx,
и число
(
)
yxEv ,
=
были, соответ-
ственно, ситуацией равновесия в смешанных стратегиях и значением
игры, необходимо и достаточно, чтобы имели место следующие нера-
венства:
(
)
(
)
2
1
,,, XjXijxEvyiE
Î
Î
"
£
£
. (3.2)
Лемма 3.1. Если в игре существует ситуация равновесия в чистых
стратегиях, то она является ситуацией равновесия в смешанных страте-
гиях, и значение игры в чистых стратегиях равно значению игры в сме-
шанных стратегиях.
Эквивалентная формулировка. Пусть
(
)
yx,
– ситуация
равновесия в игре
A
G
. Тогда ситуация
(
)
yx,
равновесна и в игре
A
G
.
Пример 3.1. «Орел или решка» моделируется игрой
( ) ( )
( ) ( )
po
1,11,1
1,11,1
p
o
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
--
--
.
Легко видеть, что в этой игре нет ситуации равновесия в чистых
стратегиях, так как в любой ситуации одному из игроков выгодно
отклониться от выбранной стратегии при условии, что другой игрок
в этой ситуации придерживается своей стратегии. Однако, как мы
увидим, пара смешанных стратегий
(
)
yx,
, где
(
)
(
)
21,21,21,21
=
=
yx
,
в которых каждый из игроков играет свои чистые стратегии с равными
вероятностями, образует ситуацию равновесия в смешанных стратегиях.
3.3. Свойства оптимальных смешанных стратегий
Рассмотрим свойства оптимальных стратегий, которые в ряде
случаев помогают находить значение игры и ситуацию равновесия.
Теорема 3.3. Пусть
(
)
m
x
=
,...,
1
– оптимальная смешанная
стратегия первого игрока,
v
– значение игры и
y
– оптимальная
смешанная стратегия второго игрока. Тогда, если
(
)
vyiE
<
,
, (3.3)
то вероятность выбора
i
-й стратегии первым игроком в ситуации
равновесия обязательно должна быть
0
=
x
i
. (3.4)
Согласно теореме 3.2, условие равновесия
(
)
(
)
E
yxEyiE ,,
£
£
(
)
jijxE ,,
"
£
. Пусть
x
и
y
оптимальны. Тогда да
(
)
vyxE
=
,
. Если для
какого-либо i неравенство слева выполняется строго, то первый игрок,
отклонившись на чистую стратегию i, свой выигрыш уменьшит, следо-
вательно, вероятность выбора первым игроком в ситуации равновесия
чистой стратегии i должна быть равной нулю.
Теорема 3.4. Пусть
(
)
n
y
h
h
=
,...,
1
– оптимальная стратегия второгоо
игрока,
v
– значение игры,
x
– оптимальная стратегия первого игрока.а.
Тогда, если
(
)
vjxE
>
,
, (3.5)
то вероятность выбора
j
-й стратегии обязательно должна быть
0
=
h
j
. (3.6)
Теоремы 3.3 и 3.4 обосновывают процедуру выбора стратегии,
которая обеспечивает успешный поиск.
Теорема 3.5. Пусть
x
и
y
– оптимальные стратегии 1-го и 2-гоо
игроков,
v
– значение игры. Тогда
(
)
vjxE
nj
=
=
,min
,1
(3.7)
и
(
)
vyiE
mi
=
=
,max
,1
. (3.8)
Теорема 3.6. Пусть
A
G
–
(
)
nm
´
-МИ. Для того чтобы ситуация
в смешаных стратегиях
(
)
yx,
была равновесной в игре
A
G
, необходимо
и достаточно выполнение равенства
(
)
(
)
jxEyiE
nj
mi
,min,max
1
1
££
££
=
. (3.9)
Теорема 3.7. Для МИ
A
G
справедливы следующие соотношения:
(
)
(
)
,,maxmin,minmax yiEvjxE
i
yj
x
=
=
(3.10)

Страницы