Бескоалиционные игры в нормальной форме. Часть 1. Григорьева К.В. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

20 21
как математическое ожидание его выигрыша, т. е. сумма этих
всевозможных вероятностей
jiij
h
x
a
:
( )
åå
= =
==hxa=
m
i
n
j
jiij
AyxyxAyxE
1 1
,,,
,
где oo, – скалярное произведение.
При этом функция
(
)
yxE ,
является непрерывной по
I
å
Î
x
и
II
å
Î
y
.
Если играть 10 млн раз при выборе первым игроком
i
-й стратегии,
а вторым – j-й, то средний выигрыш за эти 10 млн раз повторений игры
будет для первого игрока
(
)
10,
yxE
млн, выигрыш второго игрокаа
составит
(
)
10,
-
yxE
млн.
Определим смешанное расширение МИ.
Определение 3.8. Антагонистическая игра
A
G
называется
смешанным расширением игры
A
G
, если задается следующим образом:
(
)
{
}
yxE ,;;
II
I
å
å
=
G
.
Игроки 1 и 2 выбирают стратегии
II
I
,
å
Î
å
Î
yx
, для первогоо
игрока реализуется выигрыш
(
)
yxE ,
, для второго – –E(x, y). Игра
A
G
является подыгрой для
A
G
, т. е.
.
A
A
GG Ì
3.2. Ситуация равновесия в смешанных стратегиях
Определение 3.9. Ситуация
(
)
yx,
в игре
A
G
образует ситуацию
равновесия, а число
(
)
yxEv ,
=
является значением игры
A
G
, если
(
)
(
)
(
)
.,,,,
II
I
å
Î
å
Î
"
£
£
yxyxEyxEyxE
(3.1)
В ситуации за 10 млн раз игры, если отклонение от ситуации
(
)
yx,
будет происходить достаточно часто, то выигрыш для первого игрока
может уменьшиться, а для второго потери увеличатся.
Теорема 3.1. В любой МИ существует ситуация равновесия в
смешанных стратегиях.
Эквивалентная формулировка. В любом смешанном расширении
МИ существует ситуация равновесия.
Определение 3.10. Соответственно, смешанные стратегии, обра-
зующие ситуацию равновесия, называются оптимальными смешанны-
ми стратегиями.
Заметим, что выигрыши
(
)
yiE ,
,
(
)
jxE ,
при применении первым
или вторым игроком чистой стратегии i или j соответственно, а другим –
смешанной стратегии (у или х) имеют вид
( ) ( )
miyyiEyxE
n
j
ijiji
,1;,,
1
=a=ha==
å
=
;
( ) ( )
njxjxEyxE
j
m
i
iiji
,1,,,
1
=a=xa==
å
=
,
где
j
i
aa ,
– i-я строка и j-й столбец соответственно
(
)
nm
´
-матрицы А.
Пусть
( )
åå
= =
hxa=
m
i
n
j
jiij
yxE
1 1
,
. Тогда если вместо
x
использоватьть
чистую стратегию, то
( ) ( )
yiEyxE
m
i
i
m
i
n
j
jiji
,,
11 1
åå å
== =
x=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
hax=
.
Аналогично, если вместо
y
использовать чистую стратегию, тоо
( ) ( )
åå å
== =
h=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
xah=
n
j
j
n
i
m
j
iijj
jxEyxE
11 1
,,
.
Следовательно,
( ) ( ) ( )
.,,,
1 111
åååå
= ===
hxa=h=x=
m
i
n
j
jiij
n
j
j
m
i
i
jxEyiEyxE
Пусть
(
)
II
I
,
å
´
å
Î
yx
– ситуация в смешанных стратегиях в игре
A
G
. Оказывается, что для проверки ситуации
(
)
yx,
на равновесность
неравенства (3.1) достаточно проверять не для всех
I
å
Î
x
и
II
å
Î
y
,
а лишь для
1
Xi
Î
и
2
Xj
Î
, поскольку справедливо следующее
утверждение.

Страницы