Бескоалиционные игры в нормальной форме. Часть 1. Григорьева К.В. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

16 17
ситуация
(
)
1,2
является равновесной. При этом
minmax
=
a
ij
j
i
.2maxmin
=
a
=
ij
i
j
С другой стороны, игра с матрицей
10
01
не имеет си
туации
равновесия в чистых стратегиях (седловых точек), так как
.0minmax1maxmin
=
a
>
=
a
ij
j
i
ij
i
j
Множество ситуации равновесия в антагонистической игре
A
G
обла-
дает свойствами, которые позволяют говорить об оптимальности ситу-
ации равновесия и входящих в нее стратегий. Обозначим множество всех
ситуаций равновесия через
(
)
.
2
1
XXGZ
A
´
Ì
Теорема 2.3. Пусть
(
)
1
1
, ji
,
(
)
2
2
, ji
– две произвольные ситуации
равновесия в антагонистической игре
A
G
. Тогда
1)
;;
1
,
2
2
,
1
2
,
2
1
,
1
jijijiji
a
=
a
a
=
a
2)
(
)
(
)
(
)
(
)
.,;,
1
2
2
1
GZjiGZji
Î
Î
Из теоремы следует, что любая пара оптимальных стратегий обра-
зует ситуацию равновесия, а функция выигрыша в ней принимает одно
и то же значение, равное значению игры.
Пример 2.5. В игре с матрицей
() ()
()
()
() ()
() ()
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
3436
3835
1401
3
3
0
3836
2
1
21
i
i
jj
ситуации
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
4,2,;4,3,;2,3,;2,2,
2
1
2
2
1
2
1
1
=
=
=
=
jijijiji
являются равновесными. При этом
(
)
(
)
(
)
(
)
3,,,,
2
1
2
2
1
2
1
1
=
=
=
=
=
jiKjiKjiKjiKv
.
Из второй части теоремы следует:
Утверждение 2.1. Пусть
*
1
X
и
*
2
X
– проекции множества а
(
)
A
GZ
на
1
X и
2
X соответственно, т. е.
(
)
(
)
{
}
( ) ( )
{ }
.,,,
,,,,
12
*
2
21
*
1
A
A
GZjiXiXjjX
GZjiXjXiiX
ÎÎ$Î=
ÎÎ$Î=
Тогда множество
(
)
A
GZ
можно представить в виде
(
)
.
*
2
*
1
XXGZ
´=
Определение 2.10. Множества
*
1
X
и
*
2
X
в игре
(
)
A
GZ
называютсятся
множествами оптимальных стратегий, а их элементы – оптимальными
стратегиями первого и второго игрока соответственно.
Самостоятельная работа № 2
Найти все максминные и минимаксные стратегии игроков, нижнее
и верхнее значения игры; указать все ситуации равновесия и значение
игры, если они есть.
ЗАНЯТИЕ № 3
3.1. Смешанные стратегии матричных игр (МИ)
В МИ с полной информацией игроки не делают тайны из своих
равновесных стратегий, которые гарантируют всем игрокам одновремен-
но оптимальный максминный «выигрыш» независимо от поведения про-
тивника. Однако в отсутствие седловой точки игроки не довольствуются
своим максминным «выигрышем»: кто из нас ограничится малым, если
есть надежда на большее?
Рассмотрим МИ
.1,0,
10
01
21
21
==
ú
û
ù
ê
ë
é
vv
Будем рассуждать так. Если играть 5 млн раз, то возможный выиг-
рыш первого игрока при выборе 1-й стратегии будет 1/2. Аналогично
может действовать второй игрок, выбирая какой-либо столбец. Первый
игрок гарантирует, что он выиграет 1/2, а второй гарантирует, что он
проиграет не более 1/2, т. е. игроки выбирают своими стратегиями
(
)
21,21
.

Страницы