Бескоалиционные игры в нормальной форме. Часть 1. Григорьева К.В. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

18 19
Таким образом, каждый игрок, манипулируя непредсказуемо для
противника (например, по правилам, известным только ему, или случай-
но) чистыми стратегиями, убеждается, что при многократном повторе-
нии игры может улучшить свой максминный «выигрыш».
Рассмотрим МИ с матрицей
nm
A
´
, где
{
}
mii ,1=
– стратегии
первого игрока;
{
}
njj ,1=
– стратегии второго игрока. Ситуация игры –
пара стратегий
(
)
ji,
.
Определение 3.1. Стратегию, полученную в многократно повторя-
емой игре при случайном механизме реализации чистых стратегий иг-
рока, называют рандомизированной (смешанной) стратегией игрока.
Определение 3.2. Под смешанной стратегией первого игрока
будем понимать m-мерный смешанный вектор
(
)
m
mi
Rx Îxxx= ,...,,...,
1
,
mi
i
m
i
i
,1,0,1
1
=³x=x
å
=
,
где
m
– число строк матрицы выигрышей
nm
A
´
.
Таких векторов
x
бесконечно много. Множество всех стратегий
первого игрока
x
обозначим
0
I
.
Определение 3.3. Аналогично смешанная стратегия второго игрока
определяется как n-мерный вектор
(
)
nj
y
h
h
h
=
,...,,...,
1
, т. е.
nj
j
n
j
j
,1,0,1
1
=³h=h
å
=
,
где
n
– число столбцов матрицы выигрышей
nm
A
´
.
При этом
0
³
x
i
и
0
³
h
j
– соответственно вероятности выбора
чистых стратегий
1
Xi
Î
и
2
Xj
Î
при использовании игроками
смешанных стратегий х и у. Множество всех стратегий второго игрока
y
обозначим
II
.
Определение 3.4. Напомним, что вещественная функция, значения
которой имеют определенную вероятность, называется случайной
величиной.
Определение 3.5. Случайная величина, значениями которой
являются стратегии игрока, называется его смешанной стратегией.
Учитывая введенное определение смешанных стратегий,
прежние стратегии будем называть «чистыми». Так как случайная
величина характеризуется своим распределением, то будем
отождествлять в дальнейшем смешанную стратегию с веро-
ятностным распределением на множестве чистых стратегий. Таким
образом, вектор
x
может быть интерпретирован следующим образом.
Это набор вероятностей, с которыми первый игрок выбирает
соответствующие строки матрицы.
1
x
– вероятность выбора первой
стратегии,
i
x
– вероятность выбора
i
-й стратегии,
m
x
–
m
-й стратерате-
гии, сумма этих вероятностей равна 1.
Аналогично,
y
– это набор вероятностей, в соответствии с которыми
второй игрок выбирает столбцы матрицы: первый – выбор первого
столбца,
j
–
j
-го столбца,
n
–
n
-го столбца, сумма их равна 1.
Определение 3.6. Чистая стратегия является частным случаем
смешанной стратегии. Она заключается в выборе
i
-й строки и имеет
вид
(
)
43421
m
ii
x 0,...,1,...,0
=
, т. е.
i
-я строка выбирается с вероятностью 1.
Соответственно, чистая стратегия для второго игрока
(
)
4434421
n
jj
y 0,...,0,1,0,...,0
=
. Таким образом, чистые стратегии – выбор номеров
строк или столбцов. У первого игрока –
m
чистых стратегий, у второго –
n
чистых стратегий.
Определение 3.7. Если игроки выбрали свои смешанные стратегии,
то пара
(
)
yx,
смешанных стратегий игроков в матричной игре
A
G
называется ситуацией в смешанных стратегиях.
В ситуации
(
)
yx,
в смешанных стратегиях пара чистых стратегий
(
)
ji,
реализуется с вероятностью
ji
h
x
. Если такая пара появляется, тоо
выигрыш первого игрока есть
ij
a
, отсюда следует, что вероятность
выигрыша
ij
a
является
ji
h
x
, следовательно, выигрыш
ij
a
являетсяся
случайной величиной. Поэтому выигрыш первого игрока в ситуации
(
)
yx,
в смешанных стратегиях для
(
)
nm
´
-МИ
A
G
можно определить

Страницы