Бескоалиционные игры в нормальной форме. Часть 1. Григорьева К.В. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

26 27
играться, причем
1
,1
=s
å
=
i
kj
j
i
.
Определение 3.12. Выигрыш игрока i, соответствующий ситуации
s
, есть
() ()
å
Õ
Î
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
s=s
Xx
i
n
k
j
k
i
xEE
1
. (3.11)
В случае биматричной игры формула (3.11) имеет вид
(
)
(
)
å
å
å
=ss=ss
n
x
i
xx
i
ixExE 2,1,
21
1
21
K
.
Пример 3.4. Рассмотрим игру
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
2,89,63,0
3,68,42,1
6,215,34,
III
II
I
IIIIII
.
Пусть
(
)
3/1,3/1,3/1
1
=
s
(это означает, что смешанная стратегия
игрока 1 предписывает ему играть стратегии I, II и III с вероятностями
31
каждую),
=
s
2
(0, 1/2, 1/2) (эта смешанная стратегия игрока 2
предписывает играть стратегии II и III с равными вероятностями и не
играть стратегию I вовсе).
В данном случае мы получаем в ситуации
(
)
,
s
s
=
s
:
() ()
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
×+×+×=ss=s
å
6
2
1
5
2
1
40
3
1
1211
x
xEE
,
2
11
2
2
1
9
2
1
30
3
1
3
2
1
8
2
1
20
3
1
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
×+×+×+
÷
ø
ö
ç
è
æ
×+×+×+
() ()
.
6
27
2212
=ss=s
å
x
xEE
Определение 3.13. Смешанным расширением игры
(
)
{
}
xKXNG ,,
=
называется игра
(
)
{
}
s
S
=
ENG ,,
.
Введем следующие обозначения для чистых и смешанных страте-
гий:
(
)
( )
( )
;,,,,,,||
;,,,,,,
111
111
k
j
n
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
n
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
xxxxxxx
xxxxxx
KK
KK
+-
+-
=
=
(
)
;,,,,,,
111 niii
s
s
s
s
s
=
s
+-
KK
(
)
(
)
;,,,,,,||
111 niiii
s
s
s
s
s
=
s
s
+-
KK
;,1,,1 nikk
i
==
(
)
(
)
( )
( )
.,,,,,,||
;,,,,,,||
1
1
1
111
k
j
n
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
ni
j
i
i
j
i
xxxxx
xx
KK
KK
+-
+-
s=s
ssss=s
Определение 3.14. Ситуация (набор смешанных стратегий)
(
)
n
s
s
=
s
,...,
1
является равновесием по Нэшу в игре
{
}
{
}
{
}
ii
E,ΣN,G =
,
если для любого
N
i
Î
(
)
(
)
.||
iiiii
EE
S
Î
s
"
s
s
³
s
Теорема 3.8. Пусть
ii
XX Ì
+
– множество чистых стратегий,
которые игрок i играет с положительной вероятностью в ситуации
(
)
n
s
s
=
s
,...,
1
. Ситуация
s
является NE в смешанном расширении
G
игры
G
тогда и только тогда, когда для всех
N
i
Î
(
)
(
)
( ) ( )
.,||||
;,||||
++
+
ÏÎ"s³s
Î"s=s
i
j
i
i
j
i
j
i
i
j
i
i
i
j
i
j
i
j
i
i
j
i
i
XxXxxExE
XxxxExE
(3.12)
Таким образом, необходимые и достаточные условия того, что си-
туация
s
– NE, состоят в том, что: 1) каждый игрок при данном распре-
делении стратегий, которые играют его противники, безразличен между
чистыми стратегиями, которые он играет с положительной вероятнос-
тью; 2) эти чистые стратегии не хуже тех, которые он играет с нулевой
вероятностью.
Это свойство можно использовать для нахождения NE в смешанных
стратегиях.
Пример 3.5. Рассмотрим следующую игру:

Страницы