Бескоалиционные игры в нормальной форме. Часть 1. Григорьева К.В. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

42 43
.582,584
*
1
*
4
*
1
=h=h+h
Таким образом,
54
*
1
=h
и
51
*
4
=h
и оптимальная стратегия игрокаа
2 равна
(
)
51,0,0,54
*
=y
.
Пример 5.2. (
(
)
2
´
m
-игра). В этом примере две стратегии имеет
игрок 2, а игрок 1 – т стратегий. Тогда матрица А имеет вид
.
21
2221
1211
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
aa
aa
a
a
=
mm
A
KK
Анализ этой игры проводится аналогично. Действительно, пусть
(
)
h
-
h
=
1,y
– произвольная смешанная стратегия игрока 2. Тогда
выигрыш игрока 1 в ситуации
(
)
yi,
равен
(
)
(
)
(
)
.1,
22121 iiiii
yiE
a
+
h
a
-
a
=
h
-
a
+
h
a
=
График функции
(
)
yiE ,
– прямая. Рассмотрим верхнюю огибающую
этих прямых, т. е. функцию
(
)
(
)
[
]
.max
221 iii
i
H
a
+
h
a
-
a
=
h
Функция
(
)
h
H
выпуклая (как верхняя огибающая семействаа
выпуклых функций).
Точка минимума
*
h
функции
(
)
h
H
дает оптимальную стратегию
(
)
***
1, h-h=y
и значение игры
(
)
[ ]
(
)
h=h=
Îh
HHv
A
1,0
*
min
.
Самостоятельная работа № 4
Найти ситуацию равновесия и значение игры в смешанных стра-
тегиях графоаналитическим методом.
ЗАНЯТИЕ № 6
6.1. Доминирование стратегий в биматричной игре
Покажем на примере, что существуют стратегии, которые заведо-
мо выбирать не нужно, и вероятность выбора которых, согласно теоре-
мам 3.3–3.4, должна быть нулевой. Эта идея позволяет осуществлять
замену первоначальной матрицы на матрицу выигрышей меньшей раз-
мерности.
Пример 6.1. Рассмотрим следующую игру:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
.
IIIIII
8,26,90,3
6,34,81,2
2,61,53,4
III
II
I
yyy
x
x
x
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
Независимо от того, как играет игрок 1,
y
III
дает игроку 2 строгоо
больший выигрыш, нежели
y
II
. В этом смысле стратегия
y
II
строго
доминируема, поэтому рациональный игрок 2 не должен играть
y
II
.
Далее, если игрок 1 знает (так как он сам рационален и знает, что другой
рационален), что игрок 2 не будет играть
y
II
, то для него
x
I
будет лучше,
чем
x
II
или
x
III
. Наконец, если игрок 2 знает, что игрок 1 знает, чтоо
игрок 2 не будет играть
y
II
, то игрок 2 знает, что игрок 1 будет играть
x
I
,
а тогда игрок 2 должен играть
y
I
. Естественно, что строго доминируемые
стратегии надо удалять и в результате последовательного удаления строго
доминируемых стратегий остается пара стратегий
(
)
yx
I,I
.
Пример 6.2. Посмотрим теперь на следующую игру:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
.
III
0,20,1
0,00,0
0,10,4
III
II
I
yy
x
x
x
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-

Страницы