Бескоалиционные игры в нормальной форме. Часть 1. Григорьева К.В. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

44 45
Здесь
x
II
не доминируется строго ни стратегией
x
I
, ни стратегией
x
III
. Однако, если игрок 1 играет
x
I
с вероятностью
21
и
x
III
–
с вероятностью
21
, он обеспечивает себе выигрыш
21
независимо отт
того, как играет игрок 2. Следовательно, чистая стратегия может строго
доминироваться смешанной стратегией, даже если она не домини-
руется строго никакой чистой стратегией.
Определение 6.1. Чистая стратегия
i
x
игрока i в игре
G
строго
доминируема, если существует другая чистая стратегия
i
x
, такая, чтоо
(
)
(
)
.,,1,|| ijnjXxxKxxK
jiii
¹=Î"³
(6.1)
В этом случае говорят, что стратегия
i
x
доминирует стра-
тегию
i
x
.
Определение 6.2. Стратегия
i
x
слабо доминируется, если
существует такая
i
x
, что (6.1) выполняется как нестрогое неравенство,
но хотя бы для одного набора
{
}
ijnjx
j
¹= ,,1
– неравенство строгое.
Аналогично определение и для смешанных стратегий:
Определение 6.3. Смешанная стратегия
i
s
строго доминируется
в игре
G
, если существует другая стратегия
i
s
:
(
)
(
)
.,,1,|| ijnjEE
jiii
¹=SÎs"s³ss
(6.2)
Стратегия
i
s
называется строго доминирующей стратегией для
игрока i в игре
G
, если она строго доминирует любую другую стратегию
из
i
å
.
Заметим, что для проверки строгой доминируемости
i
s
стратегией
i
s
нам нужно знать «поведение» этих двух стратегий против чистых
стратегий оппонентов игрока i, т. е.
(
)
(
)
ijnjEE
jiii
¹=SÎs"s³ss ,,1,||
тогда и только тогда, когда
(
)
(
)
.,,1,|||| ijnjXxxExE
jiiii
¹=Î"s>s
Смешанная стратегия может быть строго доминируемой, если она
использует с положительной вероятностью чистые стратегии, которые
даже не слабо доминируемы.
Пример 6.3. Действительно, рассмотрим следующую игру:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
.
III
1,01,0
3,10,2
0,23,1
III
II
I
yy
x
x
x
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-
Стратегия игрока 1
(
)
0,21,21
дает ожидаемый выигрыш
21
-
вне
зависимости от того, что играет игрок 2, а следовательно, строго доми-
нируется стратегией
x
III
.
Пример 6.4. Рассмотрим игру, где выигрыши могут принимать зна-
чения
.
)30,40()20,100(–
)20,15()10,20(
I
I
III
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
x
x
yy
Очевидно, что здесь стратегия
y
I
доминируется стратегией
y
II
, но
проигрыш игрока 1 в ситуации
(
)
yx
I,II
слишком велик, поэтому вполне
можно допустить, что игрок 1 может не рискнуть сыграть стратегию
x
II
,
допуская возможность случайной ошибки игрока 2.
6.2. Доминирование стратегий в антагонистической игре
Определение 6.4. Говорят, что стратегия
x
игрока 1 доминируетт
стратегию
x
в
(
)
nm
´
-игре
A
G
, если для всех чистых стратегий
nj ,1=
игрока 2 выполняются неравенства
.
jj
axax
¢¢
³
¢
(6.3)
Например, в матрице
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
23
43
52
3-я строка доминируется 2-й, т. е.

Страницы