Составители:
Рубрика:
16
и ПО матрицей
=
200
02
A
20
(
,2
21
=λ=λ
20) при
()
T
x 0,0
0
=
дает последовательность приближений
()
()
()
()
()
()
()()
,111,11423,11423
;11232,118,1108
,111,1163,1163
;11232
,114,114
,111,4,4
2
3322
2422221
1
12
1
11
221
0
0
01
0
00
=α=+−=
=+=α+=
=α−=+−=
=+
=α+=
=α=+−=
T
T
T
T
T
bxAg
bxAgxx
bxAg
bxA
gxx
bxAg
()
...............
;11232,11412,111204
3622331
1
12
=+=α+= bxAgxx
T
()
011924 →=+
∞→k
kk
bxA
,
где x
*
= (2, 0.2)
T
. Траектория спуска изображена на рис. 3.4. По-
следовательность x
k
сходится здесь со скоростью геометрической
прогрессии, знаменатель которой q = 9/11, т. е. существенно мед-
леннее, чем в предыдущем примере.
Рис. 3.4
()
,111,1163,1163
1
=α−
=
T
()
,111,11423,11423
2
33
=α
=
T
21
Рис. 5.1
нимума
2
x , в ней вычислить антиградиент g
2
,
12
1
gg=β
и
1
1
22
pgp β+=
и т. д.
5.3. Примеры
Пример 5.1. Применим метод сопряженных градиентов к ква-
дратичной функции из примера 4.1
()
2
221
2
1
xxxxx
f
++=
. Пусть
x
0
= (0,
3
)
T
, p
0
= g
0
= ( –
3
, – 2
3
)
T
, x
1
= ( – 5
3
/14, 4
3
/14)
T
,
g
1
= (6
3
/14, – 3
3
/14)
T
.
Сделаем второй шаг не по антиградиенту, а по сопряжен-
ному направлению p
1
. Вычислим
2
01
0
41
9
==β gg
. Далее
p
1
= g
1
+ β
0
g
0
= (75
3
/14
2
, – 60
3
/14
2
)
T
. Точка x
2
на луче x
1
+ αp
1
имеет координаты
3
/14 ( – 5 + α
2
75/14) и
3
/14 ( 4 – α
2
60/14).
При α
2
= 14/15 обе координаты обращаются в нуль.
Согласно теореме 5.1, метод сопряженных градиентов при ми-
нимизации квадратичной функции дает точку минимума не более
чем за n шагов (у нас n = 2) независимо от выбора начальной
точки. Это означает, что направление p
1
ведет в точку минимума
(0, 0)
T
.
