Составители:
Рубрика:
18
4.2. Примеры
Пример 4.1. Рассмотрим функцию
()
2
221
2
1
xxxxxf ++=
,
в матричном виде
()
xxf
T
2
1
=
Ax, где
=
21
12
A
. Собственные
числа матрицы A:
1;3
21
=λ=λ
. Вычислим собственные векторы
матрицы A:
1°.
⇒=λ 3
1
.2,,
1
1
;0;0
11
11
1
21
=∈
=⇒=+−⇒=
−
−
XECCXxxx
2°.
⇒=λ 1
2
.2,,
1
1
;0;0
11
11
1
21
=∈
−
=⇒=+⇒=
XECCXxxx
Ортонормированные собственные векторы
()
T
e 21,21
1
=
и
()
T
e 21,21
2
−=
соответственно. Так как
xy
1−
ε=
, а
−
==
εε
−
2121
2121
1
,
то
()
()
−
+
=
−
=
21
21
2
1
21
21
2121
2121
xx
xx
x
x
y
.
Таким образом, новые переменные следующие:
()
211
21 xxy +=
и
()
212
21 xxy −=
, а
()
()
()()
.
4
1
4
3
3
2
1
2
21
2
21
2
2
2
1
xxxxyyxF −++=+=
Линии уровня целевой функции – эллипсы с центром в начале
координат, так как отсутствует линейная часть (рис. 4.2).
Зададим точность расчетов ε = 0,05.
1°. Пусть задана начальная точка
()
(
)
,1,1
00
=
= xfx
T
= 3. Фик-
сируем x
2
= 1 и решаем задачу
()()
1
min1
4
1
1
4
3
2
1
2
1
x
xx →−++
.
Минимум достигается в точке x
1
= – 1/2 и равен 3/4.
2°. Фиксируем x
1
= – 1/2 и ищем минимум функции
19
,
2
1
4
1
2
1
4
3
2
2
2
2
++
− xx
который достигается в точке x
2
= 1/4
и равен 3/16. Получаем точку (–1/2, 1/4)
T
.
3°. Фиксируем x
2
= 1/4 и находим x
1
= – 1/8.
4°. Фиксируем x
1
= – 1/8 и находим x
2
= – 1/16. В точке (–1/8,
1/16) значение целевой функции равно 3/256. Так как | f (–1/8,
1/16) – f (–1/2, 1/4)| = 3/256 < 0,05, то процесс завершен.
МНГС из той же начальной точки (1, 1)
T
дает минимум за
одну итерацию, так как g
0
= – (Ax
0
+ b)
T
=
()
=++−
T
xxxx
2121
2,2
()
T
3,3 −−=
, и при α
0
= (g
0
, g
0
) / (Ag
0
, g
0
) = 1/3 мы получаем точку
минимума
()
T
gxx 0,0
0
0
01
=α+=
.
С другой стороны, если взять за начальное приближение точ-
ку (0,
3
)
T
, которая лежит на той же линии уровня, что и точка
(1, 1)
T
, и первой изменять x
2
, а не x
1
, то покоординатный спуск
дает минимум за один шаг, в то время как наискорейший спуск
g
0
= (–
3
, – 2
3
)
T
из точки (0,
3
)
T
дает за одну итерацию точку
x
1
= (– 5
3
/14, 4
3
/14)
T
, в которой целевая функция имеет зна-
чение 9/28. Если сделать еще один шаг по антиградиенту g
1
= (6
3
/14, – 3
3
/14)
T
, то получим (при α
1
= 5/6) точку (0, 3
3
/28)
T
,
значение целевой функции в ней равно 27/784. Таким образом,
после двух итераций по одной из координат отклонение от точ-
ки минимума составляет примерно 0,17, а по целевой функции –
примерно 0,034.
Рис. 4.2
