Теория игр. Часть 2. Кооперативные игры и игры в позиционной форме. Григорьева К.В. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

20 21
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
1
5
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
10
5
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
3
2
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
2
1
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
1
5
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
3
4
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
2
6
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
4
1
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
4
2
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
4
1
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
8
1
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
5
8
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
5
0
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
6
0
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
3
2
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
1
4
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
8
1
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
8
2
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
5
4
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
5
3
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
2
1
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
1
1
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
6
5
Рис. 2.3
Обозначим через
 
xvxv
21
,
выигрыши игроков в подыгре
x
G
при
использовании игроками «недоброжелательного» равновесия. Тогда имеем
   

  
  
.87.27.2,27.2
,47.17.1,27.17.1
,26.16.1,66.16.1
221
2211
2211
vvv
vvvv
vvvv
Как уже отмечалось, в подыгре
5.2
G
два NE. В отличие от предыду-
щего случая предположим, что игрок 2 «недоброжелателен» и выбирает
ту из вершин, в которой при его максимальном выигрыше выигрыш иг-
рока 1 минимален. Тогда
 
 
   
.38.18.1,28.18.1
,47.16.2,27.16.2
,25.2,15.2
2211
2211
21
vvvv
vvvv
vv
Далее ищем решение игр
3.1
G
,
4.1
G
,
5.1
G
,
3.2
G
,
4.2
G
. В подыгре
3.1
G
два NE. Как и в предыдущем случае, выберем «недоброжелательные»
действия игрока 1. Тогда имеем
 
 
    
   
   
.54.24.2,34.24.2
,63.23.2,03.23.2
,46.26.25.1,25.16.25.1
,34.1,24.1
,13.1,53.13.1
2211
2211
122111
21
211
vvvv
vvvv
vvvvvv
vv
vvv
Далее решаем игры
1.2
G
,
2.1
G
,
2.2
G
. Имеем
   
   
   
   
.52.11.1,32.11.1
,62.22.2,52.22.2
,54.22.1,34.22.1
,45.11.2,25.11.2
2211
2211
2211
2211
vvvv
vvvv
vvvv
vvvv
Таким образом, получена новая ситуация NE

.31,1,2,2,3,3,,12,3,2,1,1,2,2,=
*
2
*
1
uu
(2.4)
На рис. 2.3 стратегии и путь обозначены жирной линией с пункти-
ром. Выигрыши обоих игроков

5,3
в ситуации (2.4) меньше, чем в си-
туации (2.3). Однако ситуация (2.4) так же, как и ситуация (2.3), является
ситуацией абсолютного равновесия.
Кроме «доброжелательных» и «недоброжелательных» ситуаций
абсолютного NE существует целое семейство промежуточных ситуаций
абсолютного равновесия.
Рассмотрим вопрос о том, когда можно утверждать отсутствие двух
различных ситуаций абсолютного равновесия, отличающихся выигры-
шами игроков.
Теорема 2.2. Пусть выигрыши игроков

nixH
i
,1,
, в игре G та-
ковы, что если существует такой игрок
0
i
и такие конечные позиции x, y,
что

yHxH
ii
00
, тоо

yHxH
ii
для всех
N
i
. Тогда в игре G
выигрыши игроков во всех ситуациях абсолютного равновесия совпада-
ют (рис. 2.4).
Доказательство. Докажем по методу индукции по длине игры l.
Пусть
1
l
и в единственной позиции x ходит игрок
1
i
:

xHxH
i
Fx
i
x
c
c
11
max
.

Страницы