Составители:
Рубрика:
22 23
0
i
yx
^
`
yH
i
^`
xH
i
Рис. 2.4
Если точка
x
единственная, то и вектор выигрышей единствен:
^`
xHxHxH
n
...,,
1
. Если существует такая точка
xx z
, чтоо
xHxH
ii
11
, то имеется еще одна ситуация равновесия с выигрыша-
ми
^`
xHxHxH
n
...,,
1
. Однако из условия теоремы следует, чтоо
если
xHxH
ii
11
, то
xHxH
ii
для всех х
N
i
.
Пусть
^ `
)(xvxv
i
– вектор выигрышей в ситуациях равновесия
в одношаговой подыгре
x
G
, который, как уже показано, определяется
единственным образом. Покажем, что если для некоторого
0
i
выполнено
равенство
xvxv
ii
cc
c
00
, (
xx
ccc
,
:
1
ccc
xx
GlGl
, рис. 2.5),
то
xvxv
ii
cc
c
.
x
'
x"
v
i
(x')
v
i
(x")
Рис. 2.5
Действительно, пусть
1
i
Xx
c
,
2
i
Xx
cc
, тогдада
yHxHxv
i
Fy
ii
x
111
max
c
c
c
,
yHxHxv
i
Fy
ii
x
222
max
cc
c
cc
и
xHxv
ii
c
c
,
xHxv
ii
cc
cc
для всех х
N
i
. Но тогда, если
xvxv
ii
cc
c
00
, то
xHxH
ii
cc
c
00
. Следовательно, по условию теоре-
мы
xHxH
ii
cc
c
для всех
N
i
. Отсюда
xvxv
ii
cc
c
для всех ех
N
i
.
Предположим теперь, что во всех подыграх
x
G
с длиной
1d
k
l
(см. рис. 2.2) вектор выигрышей в ситуациях равновесия определяется
единственным образом и если для каких-нибудь двух подыгр
x
G
c
,
x
G
cc
с длиной, не превосходящей
1
k
,
xvxv
ii
cc
c
00
для некоторого о
0
i
,
то
xvxv
ii
cc
c
для всех
N
i
.
Пусть игра
0
x
G
имеет длину k и в начальной позиции
0
x
ходит иг-
рок
1
i
. По предположению индукции для всех
0
x
Fz
в игре
z
G
выигры-
ши в ситуациях NE определяются единственным образом. Пусть вектор
выигрышей в ситуациях NE в игре
z
G
равен
^`
)(zv
i
. Тогда игрок
1
i
в вершине
0
x
выбирает следующую вершину
0
x
Fz
из условия
zvzv
i
Fz
i
x
1
0
1
max
. (2.5)
Если точка
z
, определяемая (2.5), единственна, то вектор
nizvxv
ii
,1,
0
, является единственным вектором выигрышей
в ситуациях NE в игре
0
x
G
. Если же существуют две вершины
zz,
,
для которых
zvzv
ii
11
, то по предположению индукции, посколькуу
длины подыгр
z
G
и
z
G
не превосходят
1
k
, из равенства а
zvzv
ii
11
следует равенство
zvzv
ii
для всех
N
i
. Таким образом, и в этомом
случае выигрыши
0
xv
i
,
N
i
, в ситуациях равновесия определяютсяся
единственным образом.
2.2. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РА Б О ТА № 2
Найти все ситуации абсолютного NE в игре G, заданной на древовид-
ном графе и представленной на рисунках. В позициях, обозначенных «кру-
жочками», ходит первый игрок, «квадратиками» – второй игрок (прил. 2).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
