Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях. Громов Ю.Ю - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Разумеется, и степенная функция, и многие другие функции, удовлетворяющие скейлинговому соотношению, не явля-
ются фрактальными кривыми. Однако масштабно-инвариантные фракталы обладают изящной скейлинговой симметрией, и
большинство рассматриваемых Мандельбротом фракталов в том или ином смысле масштабно-инвариантны. Мандельброт
отмечает, что масштабно-инвариантные фракталы могут использоваться в качестве приближения при описании природы –
аналогично тому, как ранее использовались при описании природных тел прямые, плоскости и другие гладкие кривые и по-
верхности.
1.8. ФУНКЦИЯ ВЕЙЕРШТРАССА – МАНДЕЛЬБРОТА
В качестве примера масштабно-инвариантной фрактальной кривой рассмотрим фрактальную функцию Вейерштрасса –
Мандельброта
W(t), определяемую соотношением
()
∑
∞
−∞=
−
ϕ
−
=
n
nD
i
tib
b
ee
tW
n
n
)2(
1
. (1.14)
Следует заметить, что W(t) зависит от b тривиальным образом, так как только параметр b определяет, какая часть кри-
вой видна, когда аргумент
t изменяется в заданном интервале. Параметр D должен принимать значения в диапазоне 1 < D <
2,
ϕ
N
– произвольная фаза (каждый выбор фазы ϕ
N
соответствует другой функции W(t)). Функция Мандельброта – Вейершт-
расса непрерывна, но не дифференцируема ни в одной точке. Простая разновидность этой функции получается, если поло-
жить
ϕ
N
= 0. Косинусной фрактальной функцией Вейерштрасса – Мандельброта называется действительная часть функции
W(t):
()
∑
+∞
−∞=
−
−
==
n
nD
n
b
tb
tWtC
)2(
)cos1(
Re)(
. (1.15)
Принято считать, что эта функция фрактальна с размерностью D. Известно, что она действительно имеет размерность
D, если под этим термином понимать клеточную размерность, но, по-видимому, не размерность Хаусдорфа – Безиковича.
Фрактальная размерность
D(W
b
) функции Вейерштрасса-Мандельброта заключена в пределах
D – (B/b) [D(W
b
)] D.
Входящая в это неравенство постоянная В достаточно велика для того, чтобы оно выполнялось и при больших b. Были
вычислены значения функции Вейерштрасса – Мандельброта при нескольких значениях параметров в интервале «времени»
0
≤ t ≤ 1 (рис. 1.17). При малых значениях D функция по существу гладкая, но когда D возрастает до 2, начинает сильно
флуктуировать и напоминает шум в электронных цепях. Этот шум накладывается на общий тренд к возрастанию. Функция
С(t) – однородная и удовлетворяет соотношению однородности
C(bt) = b
2 – D
C(t). (1.16)
Следовательно, если мы знаем функцию C(t) на некотором интервале значений t, то тем самым она известна при любых
t. В качестве примера сравним функцию C(t) при b = 1,5 и D = 1,8 (рис. 1.18, а) с той

Страницы