Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях. Громов Ю.Ю - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

точками, заменяется
N = 3 треугольниками, уменьшенными с коэффициентом r = 1/2, поэтому из соотношения (1.10) следу-
ет, что размерность подобия в этом случае равна
D = ln 3 / ln 2 = 1,58... . С салфеткой Серпинского тесно связана другая кри-
вая – так называемый ковер Серпинского. Он изображен на рис. 1.16. Бесконечно много поколений предфракталов порож-
дают фрактальную кривую. «Толстые» (черные) участки предфракталов при переходе к предельной фрактальной кривой
исчезают, а полный периметр дыр в ковре Серпинского становится бесконечным.
Рис. 1.15. Построение треугольной салфетки Серпинского.
Затравка-треугольник со всеми внутренними точками. Образующий
элемент исключает из затравки центральный треугольник.
Справа: четвертое поколение предфракталов; фрактальная кривая
получается в пределе при бесконечно большом числе поколений и
имеет фрактальную размерность D = ln 3 / ln 2 = 1,58...
Рис. 1.16. Построение ковра Серпинского. Затравка-квадрат,
а образующий элемент (слева) состоит из N = 8 квадратов,
полученных из затравки преобразованием подобия (сжатием)
с коэффициентом подобия r = 1/3. Справа: четвертый этап построения;
размерность подобия D = 1n 8 / 1n 3 = 1,89...
Кривые Серпинского использовались в качестве моделей многих физических явлений.
1.7. ЕЩЕ О СКЕЙЛИНГЕ
К обсуждению масштабной инвариантности, или скейлинга, часто бывает полезно подходить с другой точки зрения.
Рассмотрим изображенную на рис. 1.8 кривую Коха как график некоторой функции
f
(t). Этот график представляет собой
геометрическое место точек (
x
1
, x
2
) плоскости, заданное соотношением (x
1
, x
2
) = (t, f
(t)). Если λ = r = (1/3)
N
при N = 0, 1, 2, ...
есть масштабный множитель, то триадная кривая Коха обладает тем свойством, что
f(λt) = λ
α
f
(t)
с показателем α = 1. Заметим, что в случае кривой Коха функция f(t) неоднозначна. Тем не менее скейлинговое соотношение
выполняется для любой точки множества. Аналогичное построение применимо и к функциям, заданным на всех положи-
тельных действительных числах. Например, степенная функция
f
(t) = bt
α
удовлетворяет соотношению однородности
f
(λt) = λ
α
f
(t) (1.12)
при всех положительных значениях масштабного множителя K. Функции, удовлетворяющие соотношению (1.12), принято
называть однородными. Однородные функции играют очень важную роль в описании термодинамики фазовых переходов.
Многое из того, что удалось достичь в последние годы в понимании критических явлений вблизи фазовых переходов второ-
го рода, укладывается в следующее утверждение: критическая часть свободной энергии y таких систем удовлетворяет скей-
линговому соотношению
F
c
(λt) = λ
2 – α
F
c
(t). (1.13)
Здесь t = |T
c
– T| / T есть относительная температура, измеряемая от температуры фазового перехода T
c
, а α в данном
случае – критический показатель удельной теплоемкости. Выбирая
λ так, чтобы выполнялось равенство λt = 1 (такой выбор
масштабного множителя допустим, поскольку соотношение (1.13) выполняется при любом значении
λ), получаем критиче-
скую часть свободной энергии в виде
F
c
(λt) = λ
2 – α
F
c
(t).
Из термодинамического определения теплоемкости C = –T∂
2
F / ∂t
2
следует, что при t → 0 удельная теплоемкость ведет
себя как
С ~ t
–α
(такое поведение согласуется с экспериментальными данными). Аналогичная скейлинговая зависимость опи-
сывает статистические свойства протекания, или перколяции, вблизи порога протекания. Современная ренормгрупповая
теория критических явлений объясняет, почему свободная энергия имеет скейлинговую форму и позволяет вычислять кри-
тические показатели.

Страницы