Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях. Громов Ю.Ю - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

()()
()
0,
2
exp
2
1
2
0
>
−
π
= t
D
tB
tN
tBp
. (4.8)
Рассмотрим некоторые свойства приращений винеровского процесса: их некоррелированность на неперекрывающихся
интервалах времени и самоподобие.
Для моментов времени t
2
> t
1
> t
0
> 0 имеем
() () ()
ττ=−
∫
dntBtB
t
t
1
0
01
. (4.9)
Отсюда на основании (4.4) и (4.5) математическое ожидание и версия приращения винеровского процесса соответст-
венно равны:
M{B(t
1
) – B(t
0
)} = 0;
M{(B(t
1
) – B(t
0
))
2
} = N
0
(t
1
– t
0
) ∼ t
1
– t
0
. (4.10)
Взаимная корреляционная функция приращений при выполнении условия (4.9) на основании (4.6) равна
M{[B(t
2
) – B(t
1
)][B(t
1
) – B(t
0
)]} = k(t
1
, t
2
) – k
2
(t
1
, t
1
) – k
2
(t
2
, t
0
) + k
2
(t
1
, t
0
) =
= N
0
t
1
– N
0
t
1
– N
0
t
0
+ N
0
t
0
= 0.
Таким образом, приращения процесса B(t) некоррелированы и, поскольку имеют гауссовское распределение, независи-
мы.
Перейдем к рассмотрению свойств самоподобия. Плотность распределения приращений винеровского процесса при
B(t
0
) ≠ 0 имеет вид
() ( )
[]
()
[]
()
(
)
[]
()
−
−
−−π=−
−
00
2
0
2/1
000
2
exp2
ttN
tBtB
ttNtBtBp
. (4.11)
Изменим масштаб времени в b раз. Ввиду того, что дисперсия процесса также увеличивается в b раз – N
0
b(t – t
0
), для
обеспечения нормировки плотности распределения на единицу необходимо увеличить приращение винеровского процесса в
b
1/2
раз, т.е. изменить масштаб координаты в такое же число раз b
1/2
.
()
[]
() ( )
[]
{}
()
.
2
exp2
)}]()({[
00
2
0
2/1
2/1
00
0
2/1
−
−
−−π=
=−
−
ttbN
btBbtBb
ttbN
btBbtBbp
(4.12)
Очевидно, что плотности (4.11) и (4.12) связаны соотношением b
1/2
p[b
1/2
{B(bt) – B(bt
0
)}] = p[B(t) – B(t
0
)], выражающим
условие самоподобия: плотность вероятности отмасштабированного винеровского процесса, умноженная на коэффициент
b
1/2
, не зависит от выбранного масштаба времени. Как следует из полученного результата, изменение масштаба времени в b
раз сопровождается изменением масштаба приращения координаты винеровского процесса в b
1/2
раз и свойство самоподобия
можно записать также в форме:
b
–1/2
[B(bt) – B(bt
0
)] = B(t) – B(t
0
).
4.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕТЕВЫХ ПРОЦЕССОВ
ФРАКТАЛЬНЫМ БРОУНОВСКИМ ДВИЖЕНИЕМ
Приведенные выше модели процессов описывали классическое броуновское движение. Как уже отмечалось ранее, мно-
гие природные явления не укладываются в рамки традиционных моделей, в том числе в модели винеровского процесса. Для
описания этих явлений, обладающих фрактальными свойствами, в работе [23] было введено обобщенное броуновское дви-
жение, которое по определению записывается в форме дробного интеграла
() ()()
ττ−
+Γ
∫
∞−
dBth
Н
tB
е
H
2
1
1
, (4.13)
где dB(τ) – приращение винеровского процесса; Г(⋅) – гамма-функция; Н – введенный в разд. 2 параметр Херста.
Импульсная переходная функция равна
()
()
() ()
<ττ−−τ−
≤τ≤τ−
=τ−
−−
−
.0,
;0,
2/12/1
2/1
HH
H
t
tt
th
(4.14)
Использование в формуле (4.13) импульсной переходной функции степенного вида (4.14) приводит к сильной коррели-
рованной зависимости процесса В
Н
(t) от предшествующих его значений, а также указывает на самоподобный характер фрак-

Страницы