Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях. Громов Ю.Ю - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕТЕВОГО ТРАФИКА
ФРАКТАЛЬНЫМ БРОУНОВСКИМ ДВИЖЕНИЕМ
В приведенных ниже материалах рассматриваются статистики сетевых процессов, базирующиеся на свойствах непре-
рывного с вероятностью 1 фрактального броуновского движения. К числу исследуемых процессов отнесены модели ON/OFF
режима сетевого трафика и RTT-задержки. Прежде чем перейти к фрактальному броуновскому движению, обсудим свойства
классического броуновского движения.
4.1. КЛАССИЧЕСКОЕ БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
К модели классического броуновского движения – винеровскому процессу (процессу Винера или Винера – Леви) при-
ходят на основании следующих соображений. Частицы жидкости или газа в отсутствие внешних воздействий из-за столкно-
вений с молекулами находятся в постоянном хаотическом движении (броуновском движении), интенсивность которого зави-
сит от температуры и плотности среды. При этих столкновениях частицы изменяют свою скорость и направление движения.
Если масса частицы равна m, то, пренебрегая силами трения, скорость движения частицы B(t) по какой-либо координате на
основании закона Ньютона определяется из соотношения
(
)
()
tn
dt
tdB
m = ,
где функция n(t) является составляющей по этой координате случайной последовательности силовых толчков. Из условия
симметрии направления этих толчков равновероятны и поэтому математическое ожидание этой функции равно нулю:
M{n(t)} = 0.
При определении статистик броуновского движения необходимо исходить из того, что в реальном физическом экспе-
рименте время корреляции процесса n(t) конечно и, грубо говоря, не превосходит среднего времени между столкновениями
τ
0
. Далее необходимо иметь ввиду, что реальные физические приборы, осуществляющие наблюдения и измерения, имеют
конечное время разрешения ∆t. В течение этого времени при большой концентрации молекул частица испытывает большое
число столкновений, вследствие чего интервал измерения оказывается много больше интервала корреляции: ∆t >> τ
0
. В связи
с изложенным на основании центральной предельной теоремы процесс n(t) приближенно можно представить гауссовским
процессом с математическим ожиданием равным нулю и дельтаобразной корреляционной функцией (гауссовским белым
шумом). Винеровский процесс B(t) по определению находится через белый шум n(t) из стохастического дифференциального
уравнения
()
nt
dt
tdB
= , B(t
0
) = B
0
= 0 или
() () ()
ττ=τ=
∫∫
dndBtB
t
t
t
t
00
. (4.1)
Математическое ожидание и корреляционная функция стационарного гауссовского белого шума соответственно равны:
M{n(t)} = 0; (4.2)
K
2n
(t
1
, t
2
) = M{n(t
1
) n(t
2
)} = N
0
δ(t
2
– t
1
), (4.3)
где N
0
– спектральная плотность белого шума; δ(⋅) – дельта-функция.
Винеровский процесс после линейного преобразования (4.1) остается гауссовским процессом и с учетом (4.2) и (4.3)
имеет при B
0
= 0 соответственно математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию:
(){} (){}
0
0
=ττ=
∫
dnMtBM
t
t
; (4.4)
()
{}
()(){}
0,
02121
2
00
>=ττττ=
∫∫
ttNddnnMtBM
t
t
t
t
; (4.5)
() (){()
()
.0,0,,min
,
,
,
21210
1220
2110
2121212
2
0
1
0
>>=
=
<
≤
=ττττ=
∫∫
ttttN
tttN
tttN
ddnnMttk
t
t
t
t
B
(4.6)
Очевидно, корреляционную функцию винеровского процесса можно также представить для положительных t
1
и t
2
в ви-
де
()
()
1221
0
212
2
, tttt
N
ttk
B
−−+= . (4.7)
Плотность распределения винеровского процесса имеет вид

Страницы