Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях. Громов Ю.Ю - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

тального броуновского движения. На основании соотношения h(bt – bτ) = b
H – 1/2
h(t – τ), а также зависимости для винеровско-
го процесса dB(bτ) = b
1/2
dB(τ) из формулы (4.13) получаем B
H
(bt) = b
H
B
H
(t) или
b
–H
B
H
(bt) = B
H
(t), (4.15)
что подтверждает самоподобный характер фрактального броуновского движения. Для приращений этого процесса матема-
тическое ожидание и дисперсия на основании (4.13) с учетом свойств винеровского процесса M{dB(T)} = 0, M{dB(τ
1
)dB(τ
2
)}
= M{n(τ
1
)n(τ
2
)}dτ
1
dτ
2
= N
0
δ(τ
2
– τ
1
)dτ
1
dτ
2
соответственно равны
M{B
H
(t) – B
H
(t
0
)} = 0; (4.16)
M{[B
H
(t) – B
H
(t
0
)]
2
} ∼ (t – t
0
)
2H
. (4.17)
Отметим также, что как для классического, так и для фрактального броуновского движения дисперсии приращений рас-
тут с увеличением разности t – t
0
.
Определим нормированную корреляционную функцию (коэффициент корреляции) стационарных приращений фрак-
тального броуновского движения для двух соседних неперекрывающихся знаковой длительности интервалов времени (t
0
, t
1
)
и (t
1
, t
2
):
()
})]()({[
)]}()([)]()({[
2
01
1201
tBtBM
tBtBtBtBM
tr
HH
HHHH
H
−
−−
=
или при В
H
(t
0
) = 0
)}({
)}({)}2()({
)(
2
2
tBM
tBMtBtBM
tr
H
HHH
H
−
=
. (4.18)
Прибавляя и вычитая в каждом из сомножителей первого слагаемого (4.18) соответственно B(2t) и B(t), после перемно-
жения и приведения подобных членов получаем
.21
)}({
)}2()({
)}({
)}2({
1
)}({
)]}()()2()][2()2()({[
22
2
2
−
−−=
=−
+−+−
=
tBM
tBtBM
tBM
tBM
tBM
tBtBtBtBtBtBM
r
H
HH
H
H
H
HHHHHH
H
(4.19)
Принимая во внимание, что соотношение в квадратных скобках в выражении (4.19) на основании (4.18) равно r
H
(t), а
также учитывая (4.17), имеем окончательно
r
H
(t) = 2
2H–1
– 1. (4.20)
Если (4.20) домножить на M{B
2
H
(t)} ~ t
2H
, то приходим к корреляционной функции приращений на интервалах (0, t) и (t,
2t) фрактального броуновского движения
K
2H
(t) ≈ (2
2H – 1
– 1)t
2H
.
Это выражение указывает на сильную корреляционную зависимость приращений, увеличивающуюся с ростом t.
Заметим, что при Н = 1/2 процесс (4.13) становится винеровским (4.1) с дисперсией и корреляционной функцией при-
ращений, равными ответственно (4.10) и нулю. Используя аналогичный подход, можно от характеристик винеровского про-
цесса перейти к характеристикам фрактального броуновского движения. Например, знание кореляционной функции (4.7)
позволяет записать корреляционную функцию фрактального броуновского движения в форме
K
2H
(t
1
, t
2
) ∼ 1/2[t
1
2H
+ t
2
2H
– |t
1
– t
2
|
2H
]. (4.21)
Коэффициент корреляции для стационарных приращений фрактального броуновского движения на интервалах (t
n
, t
n
– T) и
(t
n + k
, t
n + k
– T) заданной длительности Т разнесения на время kT, где k – параметр смещения, можно представить, как и для
счетных характеристик, выражением
()
Tkr
H
, ∼
() ()
[
]
1
1
1
121
2
1
+α
+α
+α
−+−+ kkk .
При k = 1, что соответствует корреляционной зависимости для приращений процесса на соседних интервалах времени, а
также учитывая соотношение α = 2Н – 1, получаем (4.20). При больших значениях k коэффициент корреляции аппроксими-
руется выражением (3.45)
(
)
Tkr
H
, ∼
() ( )
221
121
2
1
−−α
−=+αα
H
kHHk . (4.22)
Из этого выражения следует, что чем больше параметр Н, тем более протяженной зависимостью обладает r
H
(k, T).
Как и для счетных статистик, можно показать, что поведение спектральной плотности приращений фрактального бро-
уновского движения при ω → 0 описывается зависимостью (3.46).
Если обозначить приращения фрактального броуновского движения на интервалах (t
n
, t
n
– T) через Х
n
, то агрегирован-
ный процесс, сформированный как последовательность средневзвешенных величин из приращений на m одинаковых непе-
рекрывающихся интервалах длительностью Т, описывается соотношением (2.47). У агрегированного процесса приращений,

Страницы