Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление динамическими системами - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Доказано, что в линейных системах с квадратичным критерием качества при сделанных предполо-
жениях относительно матриц Q(t), P(t), N(t),
1
R решение уравнения (VII) с краевым условием (V)
существует и его можно искать в виде
)()()(
2
1
),( trttRtV ++= xqxxx
TT
, (VIII)
где R(t) – симметричная матрица размерности n × n; q(t) – n-мерный вектор; r(t) – скаляр.
Частные производные функции V(t, x), записанной в форме (VIII), имеют вид
)()()(
2
1),(
trttR
t
tV
TT
&
&
&
++=
∂
∂
xqxx
x
; (IX)
TT
T
T
R
tV
ttR
tV
tV qx
x
x
qx
x
x
x
x
+=
∂
∂
+=
∂
∂
=
),(
);()(
),(
),(
. (X)
Подставляя выражения (IX) и (X) в уравнение (VII) и учитывая, что:
1) при одновременном умножении произвольной матрицы М слева и справа на вектор x имеет ме-
сто соотношение xxxx )(
2
1
TTT
MMM += (т.е. происходит выделение симметричной части )(
2
1
T
MM + мат-
рицы М);
2) скалярное произведение обладает свойством транспонируемости ybby
TT
= , получим
.0
2
1
2
1
])(
)([]
)()([
2
1
3
1
3
1
3
1
2
1
3
11
3
11
111
=−
−+−−+++−
−−−−++−
−−+−+−+
−
−−−
−−−−
−−−
ll
fqqlqqxfll
qlqqx
x
P
CBPBBPrRCNP
RBBPRBPNBPARBRBP
NNPQRNBPANBPARR
T
TTTTTTTTT
TTTTTTTT
TTTTT
&
&
&
(XI)
Поскольку условие (XI) должно выполняться тождественно для любых значений x и поскольку при
1
tt = для любых значений x должно выполняться тождественно следующее соотношение [см. (V) и
(VIII)]:
xRtrttR
TTTT
11111
2
1
)()()(
2
1
lxxxqxx +=++
,
то для определения матрицы R(t), вектора q(t) и скаляра r(t) получаем следующие уравнения и гранич-
ные условия:
1)

Страницы