Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление динамическими системами. Громов Ю.Ю - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

5.3. Ослабленное необходимое условие
Уточненное необходимое условие для основной задачи оптимального координатного управления на основе принципа
оптимальности, частично свободное от требования непрерывной дифференцируемости функции V(t,
x), формулируется сле-
дующим образом.
Формулировка задачи. Пусть краевые условия имеют вид
0))(,(;)(
1100
=
=
ttt xqxx . (52)
Минимизируемый функционал имеет вид
dttftttJ
t
t
),,())(,(],,[
2
1
01100
uxxux
∫
+Φ= (53)
и определен на траекториях системы (41) с управлением
),()( xu tUt
m
∈ .
Закон управления v(t, x) считается допустимым, если u(t) = v(t, x(t)), ),())(,( xxv tUtt
m
∈ , и является кусочно-
непрерывным.
Если управление
u = u*(t),
10
ttt ≤
≤
доставляет минимум функционалу J, то ему соответствует оптимальная траектория
x
*
(t).
Пусть
)54(.))(),(,())(,(
),,())(,(min),(
*
1
0
1
0
**
0
*
1
*
1
01100
dttttftt
dttftttV
t
t
t
t
U
m
∫
∫
+Φ=
=
+Φ=
∈
uxx
uxxx
u
Тогда
∫
+Φ≤
1
0
))(),(,())(,(),(
01100
t
t
dttttftttV uxxx ,
где u(t) произвольно.
Необходимые условия. Предполагается, что искомое оптимальное управление u* = v
*
(t, x) существует. Тогда можно ус-
тановить необходимые условия для основной задачи оптимального координатного управления.
Пусть в области G пространства состояний
n
X
выполняются следующие условия.
1. Для
Gx ∈ в момент t функция
∑
=
∂
∂
+=
∂
∂
n
i
i
i
tf
x
V
tf
V
tH
1
0
),,(),,(,,, uxuxu
x
x
имеет абсолютный минимум по u, т.е. ),,(min
*
x
u
x VtHH = при
),,(),(
***
x
xuxvu Vtt ==
по всем допустимым
),()( xu tUt
m
∈ , где x
x
∂∂= VV – градиент V(t, x).
2. Решение
x(t) системы (41) существует и является непрерывной функцией для всех допустимых ),()( xu tUt
m
∈ .
3. Функция
),,(
0
uxtf непрерывна по t.
4. Функция
tVtV
t
∂∂=),( x непрерывна по t и x; вектор-функции ),( x
x
tV и f(t, x, u) либо непрерывны по t и x, либо
имеют равные левый и правый пределы для скалярного произведения
f
x
V вдоль любой траектории x(t) системы (41):
))](),(,(),([lim))]()),(,(),([lim
00
00
ttttVttttV
tttt
uxfxuxfx
xx
−→+→
=
.
5. Существует оптимальное движение для каждого начального Gx
∈
0
в некоторое состояние, удовлетворяющее усло-
вию
0),(
11
=xq t , и причем такое, что траектория не выходит из G.
6. Каждая точка в G, не удовлетворяющая условию
q(t, x) = 0, имеет окрестность, целиком лежащую в G.
Тогда функция V(t,
x) в области G удовлетворяет уравнению Гамильтона–Беллмана
0))(),(,(min
0
=
+
∈
tttf
dt
dV
m
U
ux
u
u
, (55)
или

Страницы