Решение дифференциальных уравнений в системе компьютерной математики Maxima. Губина Т.Н - 45 стр.

ГЛАВА 2                  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ



              2.1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях

          При изучении физических явлений часто не удается непосредственно
найти закон, связывающий независимые переменные и искомую функцию, но
можно установить связь между этой функцией и ее производными, выражае-
мую дифференциальным уравнением.
          Как известно, дифференциальным уравнением называется уравнение, свя-
зывающее независимую переменную x , искомую функцию y = y(x) и ее произ-
водные y' ( x ) ,...y ( ) ( x ) , т. е. уравнение вида
                       n


                                           F(x, y(x), y'(x),..., y(n) (x))= 0 .            (1.1)
          Здесь F - известная функция, x - независимое переменное, y(x) - неизвест-
ная функция.
          Если искомая функция y = y(x) есть функция одной переменной, то диф-
ференциальное уравнение называется обыкновенным.
          Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок
входящих в него производных.
          Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале ( a,b )
называется функция y = y(x) , определенная на ( a,b ) вместе со своими производ-
ными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка функции y = y ( x)
в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по x на
( a,b ) .
          График решения дифференциального уравнения называется интеграль-
ной кривой этого уравнения.
          Дифференциальное уравнение (1.1) имеет бесконечно много решений.
Множество всех решений уравнения (1.1) называется общим решением уравне-
ния (1.1). Всякое отдельно взятое решение называется его частным решением.
          Задача нахождения решения y = y(x) уравнения (1), удовлетворяющего на-
                                                            ( n − 1)       ( n − 1)
чальным условиям y |x = x = y0 , y ' |x = x = y0 ,..., y |x = x = y0 , называется задачей Коши
                                                    '
                               0           0                 0


для уравнения (1.1).
          Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если в
уравнении (1.1) функция f ( x, y, y ', y '',..., y ( n − 1) )
          А) непрерывна по всем своим аргументам x, y, y ', y '',..., y ( n − 1) в некоторой об-
ласти D их изменения;
                                                                                        ∂f    ∂f     ∂f
       Б) имеет ограниченные в области D частные производные ∂ y , ∂ y ' , ∂ y '' ,
       ∂f
…, ∂ y ( n − 1) по аргументам x, y, y ', y '',..., y ( n − 1) , то найдется интервал x0 − h < x < x0 + h ,