Решение дифференциальных уравнений в системе компьютерной математики Maxima. Губина Т.Н - 46 стр.

                                                                Т.Н. Губина, Е.В. Андропова

на котором существует единственное решение y = y(x) , удовлетворяющее
                                                      ( n − 1) ( n − 1)
условиям y |x = x = y0 , y ' |x = x = y0 ,..., y |x = x = y0 , где значения x = x0 , y = y0 ,
                                                '
                        0         0            0


y ' = y '0 ,..., y ( n − 1) = y0( n − 1) содержатся в области D .
          Решение дифференциального уравнения, в каждой точке которого его
касается другое решение, отличное от рассматриваемого решения в сколь
угодно малой окрестности этой точки, называется особым решением диффе-
ренциального уравнения. В каждой точке особого решения нарушается
единственность.
          Существует несколько классов дифференциальных уравнений и для
каждого из них существуют различные методы решения.
          Различают следующие обыкновенные дифференциальные уравнения
первого порядка:
          - Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.
          Уравнение вида g1 ( y ) f1 ( x)dx = g 2 ( y ) f 2 ( x)dy , в котором коэффициенты при
дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от x и только
от y, называется уравнением с разделяющимися переменными. Уравнение
вида g ( y )dy = f ( x)dx называется уравнением с разделенными переменными.
          - Однородные уравнения и приводящиеся к ним.
          Дифференциальное уравнение вида y ' = f ( x, y ) , если f ( x, y ) есть одно-
родная функция своих аргументов нулевого измерения, называется однород-
ным дифференциальным уравнением. Его можно представить в виде
                                           y
y ' = f ( y / x) . С помощью замены u =      его можно привести к уравнению с раз-
                                           x
деляющимися переменными.
     - Уравнения в полных дифференциалах.
     Дифференциальное уравнение вида M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 называется
уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный
                                                                               ∂F       ∂F
дифференциал от некоторой функции F ( x, y ) , т.е. Mdx + Ndy є dF є ∂ x dx + ∂ y dy .
      - Линейные уравнения первого порядка.
      Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называет-
ся уравнение, в которое y и y ' входят линейно, то есть в первой степени.
Оно имеет вид y '+ p( x) y = q( x) , где p( x) и q ( x) - заданные функции от x , не-
прерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение.
      Уравнение Бернулли – уравнение, которое можно записать в виде
                                                                                     1
y '+ p ( x) y = q( x) yα ,   ≠0,≠1 . С помощью замены переменной z =                     урав-
                                                                                    y n− 1
нение Бернулли приводится к линейному уравнению.
     - Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производ-
ной.

                                              46