Решение дифференциальных уравнений в системе компьютерной математики Maxima. Губина Т.Н - 47 стр.

Глава 2 Дифференциальные уравнения

            Эти уравнения имеют вид F ( x, y, y ') = 0 , где F - заданная функция трех
аргументов, F нелинейна по y ' . Это уравнение при определенных условиях
эквивалентно нескольким (и даже бесконечному множеству) уравнений вида
y ' = f i ( x, y ) , (i = 1, 2,...) по числу корней уравнения относительно y ' . К такому
классу уравнений относится уравнение Лагранжа y = xf ( y ') + g ( y ') и Клеро
y = xy '+ g ( y ') .
            - Уравнение Риккати.
            Дифференциальное                                 уравнение              первого         порядка    вида
y '+ a ( x) y + b( x ) y + c( x) = 0 , где a ( x), b( x), c( x) - известные функции, называется
               2


уравнением Риккати.
            Различают следующие обыкновенные дифференциальные уравнения
высших порядков:
            - Уравнения, допускающие понижение порядка.
            К ним относятся уравнения вида y ( n ) = f ( x), F ( y, y ', y '',..., y ( n ) ) = 0 и др.
            - Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
            Дифференциальное уравнение вида a0 y ( n ) + a1 y ( n − 1) + ... + an y = 0, где
a0 , a1 ,..., an - вещественные постоянные, a 0≠0 , называется линейным одно-
родным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
            - Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициента-
ми.
            Дифференциальное уравнение вида a0 y ( n ) + a1 y ( n − 1) + ... + an y = f ( x), где
a0 , a1 ,..., an - вещественные постоянные, a 0≠0 , называется линейным неод-
нородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
            - Уравнения Эйлера.
            Линейные уравнения вида a0 x n y ( n ) + a1 x n − 1 y ( n − 1) + ... + an − 1 xy '+ an y = 0, , где все
ai - постоянные, называются уравнениями Эйлера. С помощью замены x = et
его можно свести к линейному однородному уравнению с постоянными ко-
эффициентами.
            - Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициен-
тами.
            Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с переменны-
ми                  коэффициентами                                   называется                уравнение       вида
                          ( n − 1)
a0 ( x) y + a1 ( x) y
           (n)
                                   + ... + an − 1 ( x ) y '+ an ( x) y = f ( x), где f , ai - известные функции.
            Дифференциальные уравнения в частных производных — это уравне-
ния, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их част-
ные производные. Уравнения в частных производных имеют следующий вид:




                                                       47