Решение дифференциальных уравнений в системе компьютерной математики Maxima. Губина Т.Н - 49 стр.

Глава 2 Дифференциальные уравнения

       Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы:
       Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши?
       Если решение существует, то какова область его существования?
       Является ли решение единственным?
       Если решение единственно, то будет ли оно корректным, то есть непре-
рывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных?
       Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет
решение y= f  x  и никакое другое решение не отвечает интегральной кри-
вой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки  x 0, y 0
имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений y= f  x  . Точ-
ка  x 0, y 0 задаёт начальные условия.
       В теории дифференциальных уравнений, начальные и граничные усло-
вия — дополнение к основному дифференциальному уравнению (обыкно-
венному или в частных производных), задающее его поведение в начальный
момент времени или на границе рассматриваемой области соответственно.
       Дифференциальные уравнения широко используются в практике мате-
матических вычислений. Они являются основой при решении задач модели-
рования — особенно в математической физике.
       Решение дифференциальных уравнений может быть получено в сим-
вольном (аналитическом) или численном виде. Под аналитическим решени-
ем понимают такие решения, в которых неизвестная функция выражена че-
рез независимые переменные и параметры в виде формул, бесконечных ря-
дов, интегралов. Под численным решением понимают решения, полученные
численно после приближенной замены исходного уравнения другим, более
простым уравнением [4, с.301-302].
       Главное преимущество численных решений состоит в том, что их мож-
но получить даже в том случае, когда аналитические решения получить не-
возможно.

    2.2. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного
             дифференциального уравнения первого порядка
      Рассмотрим постановку задачи Коши для системы обыкновенных
дифференциальных уравнений (ОДУ) вида
                                                   dy
                                                       = f x , y ,                     (2.1)
                                                   dx
где: y -искомая вектор-функция;                                x      — независимая переменная;
 y  x = y 1  x  , .. . , y m  x ; f  x = f 1 ,. .. , f m , m — порядок системы;
 y 1  x  ,. . . , y m  x  - координаты; x≥0 ; y 0= y 0 .
        Cистему (1) можно переписать в развернутом виде


                                              49